El centro de Spieker también se encuentra en la intersección de las tres cuchillas del triángulo ABC. Una cuchilla de un triángulo es un segmento de línea que biseca el perímetro del triángulo y tiene un punto final en el punto medio de uno de los tres lados. Cada cuchilla contiene el centro de masa del límite del triángulo ABC, por lo que las tres cuchillas se encuentran en el centro de Spieker.
Para ver que el incentro del triángulo medial coincide con el punto de intersección de las cuchillas, considere una estructura de alambre homogénea en forma de triángulo ABC que consta de tres alambres en forma de segmentos de línea que tienen longitudes a, b, c. La estructura de alambre tiene el mismo centro de masa que un sistema de tres partículas de masas a, b, c colocadas en los puntos medios D, E, F de los lados BC, CA, AB. El centro de masa de las partículas en E y F es el punto P que divide el segmento EF en la relación c: b. La línea DP es la bisectriz interna de ∠D. Por tanto, el centro de masa del sistema de tres partículas se encuentra en la bisectriz interna de ∠D. Argumentos similares muestran que el centro de masa del sistema de tres partículas también se encuentra en las bisectrices internas de ∠E y ∠F. De ello se deduce que el centro de masa de la estructura de alambre es el punto de concurrencia de las bisectrices internas de los ángulos del triángulo DEF, que es el incentro del triángulo medial DEF.
Propiedades
El centro de Spieker, centro de las cuchillas de un triángulo
S es el centro de separación del triángulo ABC.[1]
S es colineal con el incentro (I), el centroide (G) y el punto de Nagel (M) del triángulo ABC. Además,[6]
Por lo tanto, en una recta numérica adecuadamente escalada y posicionada, I = 0, G = 2, S = 3 y M = 6.
S se encuentra en la hipérbola de Kiepert. S es el punto de coincidencia de las líneas AX, BY y CZ donde XBC, YCA y ZAB son trinágulos similares, isósceles y situados de manera similar construidos en los lados del triángulo ABC como bases, que tienen el ángulo de base común tan−1 [ tan(A/2) tan(B/2) tan(C/2) ].[7]