En matemáticas, la proyección escalar de un vector sobre (o respecto a) un vector también conocida como resolución escalar de en la dirección de viene dada por:
La proyección escalar, como su nombre indica, es un escalar, igual a la longitud de la proyección de sobre , con signo negativo si la proyección tiene dirección opuesta respecto a .
Multiplicar la proyección escalar de sobre por la convierte en la proyección ortogonal mencionada anteriormente, también llamada proyección vectorial de sobre .
Definición basada en el ángulo θ
Si se conoce el ángulo entre y , la proyección escalar de sobre se puede calcular usando la expresión
( en la figura)
La fórmula anterior se puede invertir para obtener el coseno del ánguloθ.
Definición en términos de a y b
Cuando no se conoce , el coseno de se puede calcular en términos de y mediante la siguiente propiedad[2] del producto escalar:
Por esta propiedad, la definición de la proyección escalar toma la forma siguiente:
Propiedades
La proyección escalar tiene signo negativo si . Coincide con la longitud de la proyección vectorial correspondiente si el ángulo es menor que 90°. Más exactamente, si la proyección del vector se denota como y su longitud como , entonces:
si
si es decir, si los dos vectores son perpendiculares entre sí;