Producto de Cantor

Un producto de Cantor es una descomposición única en forma de producto infinito de números racionales, que existe para cualquier número real ${\displaystyle r>1}$, de la forma:^[1]​^[2]​

${\displaystyle r=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{q_{k}}}\right)}$

donde los números ${\displaystyle q_{k}\in \mathbb {N} }$ son números naturales positivos y donde, además, ${\displaystyle q_{k+1}\geq q_{k}^{2}}$

Enunciado del teorema de Cantor

El teorema de Cantor sobre productos cantorianos infinitos puede resumirse de la siguiente forma:

Sea ${\displaystyle {\alpha }_{0}>1}$ un número real. Entonces se aplica lo siguiente:^[3]​^[4]​

(I) Para ${\displaystyle {\alpha }_{0}}$ una y solo una sucesión de números naturales ${\displaystyle (q_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ se puede determinar de tal manera que ${\displaystyle {\alpha }_{0}}$ es una representación del producto de la forma

${\displaystyle {\alpha }_{0}=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+{\tfrac {1}{q_{n}}}\right)}$

donde en esta sucesión, para cada índice ${\displaystyle n}$ la desigualdad ${\displaystyle q_{n+1}\geq {q_{n}}^{2}}$ y donde sólo aparece un número finito de elementos de secuencia con ${\displaystyle q_{n}=1}$.

(II) Todo producto cantoriano, es decir, todo producto infinito de la forma descrita en (I), es convergente.

(III) ${\displaystyle {\alpha }_{0}}$ es un número racional si y solo si en la representación del producto de Cantor según (I) de un índice ${\displaystyle N}$ para todos los índices posteriores ${\displaystyle n\geq N}$ siempre la identidad ${\displaystyle q_{n+1}={q_{n}}^{2}}$.

Propiedades

Se cumple que para ${\displaystyle r\in (2^{k-1},2^{k}]}$ entonces ${\displaystyle q_{1}=q_{2}=\dots =q_{k}=1}$ y, obviamente el resto de componentes cumplirán que ${\displaystyle q_{k+1}<q_{k+2}<\dots }$. Nótese que a partir del primer valor para el cual ${\displaystyle q_{k+1}>1}$ el resto de enteros crecen muy rápido y por tanto la convergencia de la producto infinito se acelera.

Ejemplos

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\left(1+{\frac {1}{3}}\right)\left(1+{\frac {1}{17}}\right)\left(1+{\frac {1}{577}}\right)\left(1+{\frac {1}{665857}}\right)\dots }$

${\displaystyle {\sqrt {3}}=\left(1+{\frac {1}{2}}\right)\left(1+{\frac {1}{7}}\right)\left(1+{\frac {1}{97}}\right)\left(1+{\frac {1}{18817}}\right)\dots }$

Más en general se tiene ${\displaystyle {\sqrt {\frac {k+1}{k-1}}}=\left(1+{\frac {1}{a_{1}}}\right)\left(1+{\frac {1}{a_{2}}}\right)\left(1+{\frac {1}{a_{3}}}\right)\dots }$ con ${\displaystyle a_{1}=k}$ y ${\displaystyle a_{k+1}=2a_{k}^{2}-1}$^[5]​

Algoritmo

La sucesión de números ${\displaystyle (q_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ puede determinarse inductivamente partiendo de ${\displaystyle {\alpha }_{0}=r>1}$ tal como sigue:

${\displaystyle q_{0}=\left\lfloor {\frac {{\alpha }_{0}}{{\alpha }_{0}-1}}\right\rfloor }$ ^[6]​ y ${\displaystyle {\alpha }_{n}={\frac {{\alpha }_{n-1}}{1+{\frac {1}{q_{n-1}}}}}\;\;\;q_{n}=\left\lfloor {\frac {{\alpha }_{n}}{{\alpha }_{n}-1}}\right\rfloor }$ para ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Demostración

La demostración se puede obtener a partir de la siguiente identidad debida a Euler:^[7]​

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1+x^{2^{m}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }x^{n}}$

Referencias

1. Halbeisen, (2012), p. 49
2. A. Singh Nimbran (2016), p. 5
3. Referencia vacía (ayuda) 
4. Referencia vacía (ayuda) 
5. F. Engel, Entwicklung der Zahlen nach Stammbr ̈uechen, Verhandlungen der 52 sten Versammlung deutscher Philologen und Schulm ̈anner in Marburg vom 29. September bis 3. October 1913, 190–191.
6. ${\displaystyle x\mapsto \lfloor x\rfloor }$ es la función de parte entera.
7. L. Euler, Introductio in Analysin Infinitorum (1748) E101, English translation Introduction to analysis of the infinite, Book I, by John D. Blanton, Springer-Verlag, New York, 1988

Bibliografía

• Halbeisen, L. J. (2012). Combinatorial set theory (Vol. 121). London: Springer.
• Lacroix, Y. (1993). "Metric properties of generalized Cantor products". Acta Arithmetica, 63(1), 61-77.
• Amrik Singh Nimbran (2016). "Mathematics behind ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ in Sulba-Sutras and Cantor Product".

• Datos: Q19843274