En el campo matemático de la teoría de grupos, se denomina orden de un elemento de grupo (o también orden de los elementos) a la mínima potencia natural a la que este debe elevarse para obtener el elemento neutro. Dicho de otra forma, el orden de un elemento
de un grupo
es el número natural
más pequeño para el que se verifica que
, donde
es el elemento neutro del grupo. Si no existe tal número, se dice que
tiene "orden infinito".[1]
Expreado en fórmulas:
![{\displaystyle \operatorname {Ord} (g)={\begin{cases}\min\{n\in \mathbb {N} ^{+}:g^{n}=e\}&{\text{si }}{\text{ existe}},\\\infty &{\text{de lo contrario}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f523511c3afe0057c54657dd69fe2e8abbf3510)
Los elementos de orden finito también se denominan torsionales. El orden a veces se denomina
o
.
La potencia
de un elemento del grupo
se define inductivamente para exponentes naturales
:
![{\displaystyle g^{0}:=e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e491d36b3230969d076a4b209f0d773aa37e19a)
para todo
natural
El número
, cuando es finito, se llama exponente de grupo.
Propiedades
- Según el teorema de Lagrange, todos los elementos de un grupo finito tienen un orden finito, y este es un divisor del orden del grupo, es decir, del número de elementos del grupo.
- Por el contrario, según el teorema de Cauchy, en un grupo finito, por cada número primo
divisor del orden del grupo, hay un elemento que tiene el orden
. No es posible una afirmación general para divisores compuestos (mientras que el elemento neutro
pertenece al divisor trivial 1).
- El orden de un elemento es igual al orden del subgrupo generado por ese elemento.
se aplica si y solo si
es un múltiplo del orden
del elemento
.
- Para cada
que no sea el elemento neutro
, se aplica lo siguiente:
tiene orden 2 si y solo si es su propio inverso.
- En un grupo abeliano, el orden del producto
es un divisor del mínimo común múltiplo de los órdenes de
y
. Tal afirmación no es posible en grupos no abelianos; por ejemplo, el elemento
del grupo SL2(Z) tiene orden infinito, aunque es producto de los elementos
de orden 4 y
de orden 6.
Referencias
Bibliografía
- J. C. Jantzen, J. Schwermer: Algebra. Springer, Berlín/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-21380-5.