Número de Pell

Obtención gráfica de la sucesión de números de Pell: partiendo de un rectángulo formado por dos cuadrados de 1x1, en cada nuevo paso se van adosando dos cuadrados iguales, cuyo lado coincide con el lado más largo del rectángulo resultante del paso anterior. En la imagen, figura la construcción de los 4 primeros números de Pell: 1, 2, 5 y 12.

En matemáticas, los números de Pell, denominados así en honor del matemático inglés John Pell (1611-1685), son una sucesión infinita de números enteros, conocida desde tiempos antiguos, que comprende los denominadores de la fracción continua de la raíz cuadrada de dos. Esta secuencia de aproximaciones comienza con:

1/1, 3/2, 7/5, 17/12 y 41/29

Los denominadores de la secuencia forman la sucesión de números de Pell, que comienza con:

1, 2, 5, 12 y 29

Los numeradores de la misma secuencia de aproximaciones son las mitades de los números compañeros de Pell o números de Pell-Lucas; de forma que estos números (multiplicados por 2) forman una segunda secuencia infinita que comienza con:

2, 6, 14, 34 y 82

Tanto los números de Pell como los números compañeros de Pell se pueden calcular mediante una relación de recurrencia similar a la de la sucesión de Fibonacci, y ambas secuencias de números crecen exponencialmente, proporcionalmente a las potencias del número plateado 1 + ${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$. Además de ser usado para aproximar la raíz cuadrada de dos, los números de Pell pueden usarse para encontrar números cuadrados triangulares, para construir aproximaciones de números enteros al triángulo rectángulo isósceles y para resolver ciertos problemas de enumeración combinatoria.^[1]​

Al igual que con la ecuación de Pell, el nombre de los números de Pell se deriva de la atribución errónea realizada por Leonhard Euler de la ecuación y de los números derivados de la misma al matemático británico John Pell (1611-1685). Los números de Pell-Lucas deben su nombre al matemático francés Édouard Lucas (1842-1891), que estudió las secuencias definidas por recurrencias de este tipo; los números de Pell y sus números asociados son sucesiones de Lucas.

Números de Pell

Los lados de los cuadrados utilizados para construir una espiral de plata son los números de Pell

Los números de Pell están definidos por la relación de recurrencia:

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{si }}n=0;\\1&{\mbox{si }}n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&{\mbox{otros casos.}}\end{cases}}}$

En palabras, la secuencia de números de Pell comienza con 0 y 1, y luego cada número de Pell se obtiene de los dos anteriores: es la suma de dos veces el número de Pell anterior y del número de Pell previo a este. Los primeros términos de la secuencia son:

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, ... (sucesión A000129 en OEIS)

También pueden expresarse mediante una fórmula explícita:

${\displaystyle P_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2{\sqrt {2}}}}}$

Para valores grandes de n, el término (1 + ${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$)ⁿ domina esta expresión, por lo que los números de Pell son aproximadamente proporcionales a las potencias del número plateado 1 + ${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$, análogo a la tasa de crecimiento de los números de Fibonacci como potencias del número áureo.

Una tercera definición es posible, a partir de la fórmula matricial:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}}$

Muchas identidades pueden derivarse o probarse a partir de estas definiciones; por ejemplo, una identidad análoga a la identidad de Cassini para los números de Fibonacci:

${\displaystyle P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n}}$

Es una consecuencia inmediata de la fórmula matricial (que se encuentra considerando los determinantes de las matrices en los lados izquierdo y derecho de la fórmula de la matriz).^[2]​

Aproximación a la raíz cuadrada de dos

Aproximaciones racionales a octógonos regulares, con coordenadas derivadas de los números de Pell.

Los números de Pell surgen históricamente y más concretamente a partir de la aproximación racional a la √2. Si dos enteros grandes x e y forman una solución a la Ecuación de Pell:

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1}$

entonces su fracción "x/y" proporciona una aproximación cercana a ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. La secuencia de aproximaciones de esta forma es:

${\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots }$

donde el denominador de cada fracción es un número de Pell y el numerador es la suma de un número de Pell y su predecesor en la secuencia. Es decir, las soluciones tienen la forma:

${\displaystyle {\frac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}}$

La aproximación:

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}}$

de este tipo era conocida por los matemáticos indios en el siglo tercero o cuarto a. C.^[3]​ Los matemáticos griegos del siglo V a. C. también conocían esta secuencia de aproximaciones:^[4]​ Platón se refiere a los numeradores como diámetros racionales.^[5]​ En el siglo II d. C., Teón de Esmirna usó el término números de lado y de diámetro para describir los denominadores y numeradores de esta secuencia.^[6]​

Estas aproximaciones pueden derivarse de la expansión en forma de fracción continua de ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$:

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots \,}}}}}}}}}}.}$

Truncar esta expansión a cualquier número de términos produce una de las aproximaciones basadas en el número de Pell en esta secuencia; por ejemplo:

${\displaystyle {\frac {577}{408}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2}}}}}}}}}}}}}}.}$

Como Knuth (1994) describe, el hecho de que los números de Pell aproximan ${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ les permite ser usados para aproximaciones racionales precisas a un octógono regular con coordenadas de vértices:

${\displaystyle (\pm P_{i},\pm P_{i+1})}$ y ${\displaystyle (\pm P_{i+1},\pm P_{i})}$

Todos los vértices están igualmente distantes del origen, y forman ángulos casi uniformes alrededor del mismo. Alternativamente, los puntos

${\displaystyle (\pm (P_{i}+P_{i-1}),0)}$, ${\displaystyle (0,\pm (P_{i}+P_{i-1}))}$ y ${\displaystyle (\pm P_{i},\pm P_{i})}$

forman octógonos aproximados en los que los vértices están casi igualmente alejados del origen y forman ángulos uniformes.

Primos y cuadrados

Un primo de Pell es un número de Pell que además es primo. Los primeros primos de Pell son:

2, 5, 29, 5741, ... (sucesión A086383 en OEIS).

Los índices de estos primos dentro de la secuencia de todos los números de Pell son:

2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, ... (sucesión A096650 en OEIS)

Estos índices son todos ellos primos. Al igual que con los números de Fibonacci, un número de Pell P_n solo puede ser primo si n es primo, porque si d es un divisor de n, entonces P_d es un divisor de P_n.

Los únicos números de Pell que son cuadrados, cubos o cualquier potencia superior de un número entero son 0, 1 y 169 = 13².^[7]​

Sin embargo, a pesar de tener tan pocos cuadrados u otras potencias, los números de Pell tienen una conexión cercana con los número cuadrados triangulares.^[8]​ Específicamente, estos números surgen de la siguiente identidad de los números de Pell:

${\displaystyle {\bigl (}\left(P_{k-1}+P_{k}\right)\cdot P_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}\cdot \left(\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}}$

El lado izquierdo de esta identidad describe un cuadrado perfecto, mientras que el lado derecho describe un número triangular, por lo que el resultado es un número cuadrado triangular.

Santana y Díaz-Barrero (2006) probaron otra identidad relacionando los números de Pell con los cuadrados, demostrando que la suma de los números de Pell hasta P_4n+1 es siempre un cuadrado:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{4n+1}P_{i}=\left(\sum _{r=0}^{n}2^{r}{2n+1 \choose 2r}\right)^{2}=\left(P_{2n}+P_{2n+1}\right)^{2}}$

Por ejemplo, la suma de los números de Pell hasta P₅, 0 + 1 + 2 + 5 + 12 + 29 = 49, es el cuadrado de P₂ + P₃ = 2 + 5 = 7. Los números P_2n + P_2n+1 que forman las raíces cuadradas de estas sumas,

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, ... (sucesión A002315 en OEIS)

se conocen como los números de Newman-Shanks-Williams.

Triángulos pitagóricos

Triángulos rectángulos pitagóricos aproximadamente isósceles, se derivan de los números de Pell.

Si un triángulo rectángulo tiene longitudes de lado enteras a, b, c (satisfaciendo necesariamente el Teorema de Pitágoras a² + b² = c²), entonces (a, b y c) se conocen como una terna pitagórica. Como Martin (1875) describe, los números de Pell pueden usarse para formar tripletes pitagóricos en los que a y b están separados por una unidad, lo que corresponde a triángulos rectángulos que son casi isósceles. Cada una de estas ternas tiene la forma:

${\displaystyle \left(2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1}\right)}$

La secuencia de triples pitagóricos formada de esta manera es:

(4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ...

Números de Pell-Lucas

Los números compañeros de Pell o números de Pell-Lucas están definidos por la relación de recurrencia:

${\displaystyle Q_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{si }}n=0;\\2&{\mbox{si }}n=1;\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&{\mbox{en otros casos.}}\end{cases}}}$

En otras palabras: los dos primeros números de la secuencia son ambos 2, y cada número sucesivo se forma añadiendo dos veces el número anterior de Pell-Lucas al número de Pell-Lucas previo a este, o equivalentemente, añadiendo el siguiente número de Pell al número de Pell anterior: por lo tanto, 82 es el compañero de 29, y 82 = 2 × 34 + 14 = 70 + 12. Los primeros términos de la secuencia son (sucesión A002203 en OEIS):

2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, ...

Al igual que la relación entre la Sucesión de Fibonacci y los números de Lucas, se cumple que:

${\displaystyle Q_{n}={\frac {P_{2n}}{P_{n}}}}$

para todos los números naturales n.

El número compañero de Pell se puede expresar por la fórmula explícita:

${\displaystyle Q_{n}=\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}$

Estos números son todos pares; cada uno de estos números es el doble del numerador en una de las aproximaciones racionales a ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$ discutidas anteriormente.

Al igual que la secuencia de Lucas, si un número de Pell-Lucas 1/2_n es primo, es necesario que n sea primo o una potencia de 2. Los primos de Pell-Lucas son:

3, 7, 17, 41, 239, 577, ... (sucesión A086395 en OEIS).

Para estos números, sus n son

2, 3, 4, 5, 7, 8, 16, 19, 29, 47, 59, 163, 257, 421, ... (sucesión A099088 en OEIS).

Cálculos y conexiones

La siguiente tabla da las primeras potencias del número plateado δ = δ_S = 1 + ${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ y su conjugado δ = 1 - ${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$.

n	(1 + ${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$)^n	(1 − ${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$)^n
0	1 + 0${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ = 1	1 − 0${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ = 1
1	1 + 1${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ = 2.41421…	1 − 1${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ = −0.41421…
2	3 + 2${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ = 5.82842…	3 − 2${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ = 0.17157…
3	7 + 5${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ = 14.07106…	7 − 5${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ = −0.07106…
4	17 + 12${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ = 33.97056…	17 − 12${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ = 0.02943…
5	41 + 29${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ = 82.01219…	41 − 29${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ = −0.01219…
6	99 + 70${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ = 197.9949…	99 − 70${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ = 0.0050…
7	239 + 169${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ = 478.00209…	239 − 169${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ = −0.00209…
8	577 + 408${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ = 1153.99913…	577 − 408${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ = 0.00086…
9	1393 + 985${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ = 2786.00035…	1393 − 985${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ = −0.00035…
10	3363 + 2378${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ = 6725.99985…	3363 − 2378${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ = 0.00014…
11	8119 + 5741${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ = 16238.00006…	8119 − 5741${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ = −0.00006…
12	19601 + 13860${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ = 39201.99997…	19601 − 13860${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ = 0.00002…

Los coeficientes de estas expresiones son respectivamente los números compañeros de Pell H_n divididos por dos; y los números de Pell P_n. Cada pareja de coeficientes es una solución (no negativa) de la igualdad H² − 2P² = ±1.

Un número cuadrado triangular es un entero que:

${\displaystyle N={\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}}$

que es tanto el número triangular t-ésimo como el número cuadrado s-ésimo. Un triplete pitagórico casi isósceles es una solución entera de a² + b² = c², donde a + 1 = b.

La siguiente tabla muestra que dividir el número impar H_n en mitades casi iguales da un número triangular cuadrado cuando n es par y un triplete pitagórico casi isósceles cuando n es impar. Todas las soluciones surgen de esta forma.

n	Hn	Pn	t	t + 1	s	a	b	c
0	1	0	0	0	0
1	1	1				0	1	1
2	3	2	1	2	1
3	7	5				3	4	5
4	17	12	8	9	6
5	41	29				20	21	29
6	99	70	49	50	35
7	239	169				119	120	169
8	577	408	288	289	204
9	1393	985				696	697	985
10	3363	2378	1681	1682	1189
11	8119	5741				4059	4060	5741
12	19601	13860	9800	9801	6930

Definiciones

Los números mitad de los compañeros de Pell H_n y los números de Pell P_n pueden deducirse de varias maneras equivalentes fácilmente:

Elevando a potencias

${\displaystyle \left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}-P_{n}{\sqrt {2}}}$

De esto se sigue que existen "formas explícitas":

${\displaystyle H_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}}$

y

${\displaystyle P_{n}{\sqrt {2}}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}}$

Repeticiones pareadas

${\displaystyle H_{n}={\begin{cases}1&{\mbox{si }}n=0;\\H_{n-1}+2P_{n-1}&{\mbox{en otros casos.}}\end{cases}}}$

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{si }}n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1}&{\mbox{en otros casos.}}\end{cases}}}$

Formulaciones matriciales

${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}\\P_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}H_{n-1}\\P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$

Por lo tanto:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}&2P_{n}\\P_{n}&H_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}}$

Aproximaciones

La diferencia entre H_n y P_n${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ es:

${\displaystyle \left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}\approx (-0.41421)^{n}}$

que converge rápidamente a cero. Así que:

${\displaystyle \left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}\,}$

está muy cerca de 2H_n.

De esta última observación se deduce que las fracciones «H_n/P_n» se acercan rápidamente a ${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$; y que H_n/H_n−1 y P_n/P_n−1 se acercan rápidamente a 1 + ${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$.

H² - 2P² = ± 1

Puesto que ${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ es irracional, no se puede obtener que H/P, ${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$, es decir:

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}}{P^{2}}}}$

lo mejor que se puede lograr es:

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}-1}{P^{2}}}\quad {\mbox{o}}\quad {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}+1}{P^{2}}}}$

Las soluciones (no negativas) de H² − 2P² = 1 son exactamente los pares (H_n, P_n) con n incluido, y las soluciones a H² − 2P² = −1 son exactamente los pares (H_n, P_n) con n impar. Para ver esto, téngase en cuenta primero que:

${\displaystyle H_{n+1}^{2}-2P_{n+1}^{2}=\left(H_{n}+2P_{n}\right)^{2}-2\left(H_{n}+P_{n}\right)^{2}=-\left(H_{n}^{2}-2P_{n}^{2}\right)}$

de modo que estas diferencias, comenzando por H2
0 − 2P2
0 = 1, se alternan en 1 y -1. Entonces debe notarse que cada solución positiva viene de esta manera de una solución con números enteros más pequeños, ya que:

${\displaystyle (2P-H)^{2}-2(H-P)^{2}=-\left(H^{2}-2P^{2}\right)}$

La solución más pequeña también tiene enteros positivos, con la única excepción de: H = P = 1, que viene de H₀ = 1 y P₀ = 0.

Números cuadrados triangulares

La ecuación requerida:

${\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}\,}$

es equivalente a:

${\displaystyle 4t^{2}+4t+1=8s^{2}+1}$

que se convierte en H² = 2P² + 1 con las sustituciones H=2t+1 y P=2s. Por lo tanto, la n-ésima solución es:

${\displaystyle t_{n}={\frac {H_{2n}-1}{2}}\quad {\mbox{y}}\quad s_{n}={\frac {P_{2n}}{2}}}$

Obsérvese que t y t + 1 son relativamente primos, de manera que t(t + 1)/2 = s² ocurre exactamente cuando son enteros adyacentes, uno cuadrado H² y el otro dos veces un cuadrado 2P². Puesto que se pueden conocer todas las soluciones de esa ecuación, también se tiene que:

${\displaystyle t_{n}={\begin{cases}2P_{n}^{2}&{\mbox{si }}n{\mbox{ es par}};\\H_{n}^{2}&{\mbox{si }}n{\mbox{ es impar.}}\end{cases}}}$

y que

${\displaystyle s_{n}=H_{n}P_{n}}$

Esta expresión alternativa se expresa en la siguiente tabla:

n	Hn	Pn	t	t + 1	s	a	b	c
0	1	0
1	1	1	1	2	1	3	4	5
2	3	2	8	9	6	20	21	29
3	7	5	49	50	35	119	120	169
4	17	12	288	289	204	696	697	985
5	41	29	1681	1682	1189	4059	4060	5741
6	99	70	9800	9801	6930	23660	23661	33461

Ternas Pitagóricas

La igualdad c² = a² + (a + 1)² = 2a² + 2a + 1 ocurre exactamente cuando 2c² = 4a² + 4a + 2, que se convierte en 2P² = H² + 1 con las sustituciones H = 2a + 1 y P = c. Por lo tanto la n-ésima solución es a_n = H_2n+1 − 1/2 y c_n = P_2n+1.

La tabla anterior muestra que, en un orden u otro, a_n y b_n = a_n + 1 son H_nH_n+1 y 2P_nP_n+1 mientras que c_n = H_n+1P_n + P_n+1H_n.

Referencias

1. Por ejemplo, Sellers (2002) probó que el número de agrupamientos en el producto cartesiano de grafos de un camino y el grafo K₄ − e puede ser calculado como el producto de un número de Pell por el correspondiente número de Fibonacci.
2. Para la fórmula matricialy sus consecuencias véase Ercolano (1979) y Kilic y Tasci (2005). Identidades adicionales para los números de Pell se enumeran por Horadam (1971) y Bicknell (1975).
3. Según lo registrado en el Śulbasūtras; véase por ejemplo Dutka (1986), quien cita a Thibaut (1875) para esta información.
4. Véase Knorr (1976) para la fecha del siglo V, que coincide con Proclo en que los números de lado y de diámetro fueron descubiertos por los pitagóricos. Para una exploración más detallada del conocimiento griego posterior de estos números, véase Thompson (1929), Vedova (1951), Ridenhour (1986), Knorr (1998), y Filep (1999).
5. Por ejemplo, como varias de las referencias de la nota anterior observan, en la República de Platón hay una referencia al "diámetro racional de 5", que para Platón significa 7, el numerador de la aproximación 7/5, de la que 5 es el denominador.
6. Heath, Sir Thomas Little (1921), History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid, Courier Dover Publications, p. 112, ISBN 9780486240732 ..
7. Pethő (1992); Cohn (1996). A pesar de que la sucesión de Fibonacci es definida por una recurrencia muy similar a los números de Pell, Cohn escribe que un resultado análogo para los números de Fibonacci parece mucho más difícil de probar (sin embargo, este hecho fue probado en 2006 por Bugeaud y otros.)
8. Sesskin (1962). Véase el artículo número cuadrado triangular para una demostración más detallada.

• Datos: Q1386491