El número de Dottie es el único número punto fijo de la función coseno . En matemática , el número de Dottie es una constante que es la única raíz real de la ecuación
cos
-->
x
=
x
,
{\displaystyle \cos x=x,}
donde el argumento del
cos
{\displaystyle \cos }
radianes . La expansión decimal del número de Dottie es
0.739085...
{\displaystyle 0.739085...}
[ 1]
Se puede demostrar trivialmente que la ecuación solo tiene una solución en el dominio real mediante el teorema del valor intermedio . Es el punto fijo simple de valor real de la función coseno , y es un ejemplo no trivial de un punto fijo de un atractor universal. Más aún, es un número trascendental y es consecuencia del teorema de Lindemann-Weierstrass .[ 2]
cos
-->
z
=
z
{\displaystyle \cos z=z}
z
{\displaystyle z}
serie de Taylor de la inversa de
f
(
x
)
=
cos
-->
(
x
)
− − -->
x
{\displaystyle f(x)=\cos(x)-x}
π π -->
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
teorema de inversión de Lagrange ), el número de Dottie se puede expresar como una serie infinita
π π -->
2
+
∑ ∑ -->
n
i
m
p
a
r
a
n
π π -->
n
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\sum _{n\,\mathrm {impar} }a_{n}\pi ^{n}}
a
n
{\displaystyle a_{n}}
número racional definido para los impares n como
a
n
=
1
n
!
2
n
lim
m
→ → -->
π π -->
2
∂ ∂ -->
n
− − -->
1
∂ ∂ -->
m
n
− − -->
1
(
cos
-->
m
m
− − -->
π π -->
/
2
− − -->
1
)
− − -->
n
=
− − -->
1
4
,
− − -->
1
768
,
− − -->
1
61440
,
− − -->
43
165150720
,
… … -->
{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{n!2^{n}}}\lim _{m\to {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial m^{n-1}}}{\left({\frac {\cos m}{m-\pi /2}}-1\right)^{-n}}\\&=-{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{768}},-{\frac {1}{61440}},-{\frac {43}{165150720}},\ldots \end{aligned}}}
[ 3] [ 4] [ 5] [ nb 1]
El nombre de la constante viene originado por Samuel Kaplan (2007) y se refiere a una profesora de francés, la cual observó el número después de presionar repetidamente el botón coseno de su calculadora.[ 3]
Notas
Referencias
Enlaces externos
