Número construible

En matemáticas, un número construible es aquel que puede representarse mediante finitas operaciones de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíz cuadrada de enteros. Tales números corresponden a los segmentos que se pueden construir con regla y compás.^[1]​^[2]​

Todos los números racionales son construibles, y todos los números construibles son números algebraicos.^[3]​ Puede demostrarse que un número real r es construible si y solo si, dado un segmento de longitud unitaria, un segmento de longitud |r| puede construirse con regla y compás.^[4]​

Caracterización

Construcción de ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$.

Los números construibles forman la menor extensión de cuerpo cerrada bajo la raíz cuadrada y la conjugación de los números racionales.

El teorema de Wantzel proporciona las condiciones necesarias y suficientes para que un número sea construible.

Propiedades

• Dado que el conjunto de números algebraicos es numerable, se sigue inmediatamente que el conjunto de números construibles es numerable.
• El conjunto de números construibles (con regla y compás) es el menor cuerpo estable por la raíz cuadrada.
• Las raíces cuadradas son números construibles.

Ejemplos y contraejemplos

• ${\displaystyle 5+{\sqrt {23-{\frac {3/2+{\sqrt {17}}}{{\sqrt {3}}-{\sqrt {\sqrt {2}}}}}}}}$ es un número construible.
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ no es construible.
• ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ no es construible, puesto que no es algebraico sobre Q.

Referencias

1. Weisstein, Eric W. «Número construible». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
2. A. Bogomolny. «Reduction: Constructible Numbers». Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (en inglés). Consultado el 22 de febrero de 2012. 
3. Courant and Robbins 1996, p. 133.
4. John A. Beachy, William D. Blair; Abstract Algebra; Definition 6.3.1 Archivado el 6 de febrero de 2012 en Wayback Machine.

• Datos: Q1321926
• Multimedia: Constructible numbers / Q1321926