Dada la ecuación cuártica
![{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ccc13a4502686dfb9946be432f7ecaabb03fd90)
Dividimos la ecuación inicial por la componente cuártica, obtenemos:
![{\displaystyle x^{4}+{\frac {b}{a}}x^{3}+{\frac {c}{a}}x^{2}+{\frac {d}{a}}x+{\frac {e}{a}}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62771d8ded8b9b2f6113bb5d6bf31939977a004b)
Procedemos a sustituir para eliminar el término cúbico:
,
donde
![{\displaystyle \left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{4}=w^{4}-{\frac {bw^{3}}{a}}+{\frac {3b^{2}w^{2}}{8a^{2}}}-{\frac {b^{3}w}{16a^{3}}}+{\frac {b^{4}}{256a^{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/878f5888807282fa30bc36bfd114378cca8b180d)
![{\displaystyle {\frac {b}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{3}={\frac {bw^{3}}{a}}-{\frac {3b^{2}w^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {3bw^{3}}{16a^{3}}}-{\frac {b^{4}}{64a^{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6058b797f819759607d08989eee059a58f6d0380)
![{\displaystyle {\frac {c}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{2}={\frac {cw^{2}}{a}}-{\frac {bcw}{2a^{2}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87d82bfe2ff6e817a2fa3ebf2483cab908e10d43)
![{\displaystyle {\frac {d}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)={\frac {dw}{a}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae6d9920d71e84d5a70316c7750ac9146bc2aced)
En efecto, al desarrollar la suma algebraica de los resultados de los productos presentes, el término está compensado igualmente por , por lo que se cancelará el término . Por tanto, el resultado de esta suma algebraica es:
![{\displaystyle w^{4}+{\frac {cw^{2}}{a}}-{\frac {3b^{2}w^{2}}{8a^{2}}}+{\frac {2b^{3}w}{16a^{3}}}-{\frac {bcw}{2a^{2}}}+{\frac {dw}{a}}+{\frac {e}{a}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}-{\frac {3b^{4}}{256a^{4}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc2e22443683d768ea30d51917a429c444fcde86)
Indicamos factor común en los términos con :
![{\displaystyle w^{4}+\left({\frac {c}{a}}-{\frac {3b^{2}}{8a^{2}}}\right)w^{2}+\left({\frac {d}{a}}-{\frac {bc}{2a^{2}}}+{\frac {b^{3}}{8a^{3}}}\right)w+\left({\frac {e}{a}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}-{\frac {3b^{4}}{256a^{4}}}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e276e133535a3e6a769900e1d0382253d11fdf)
Entonces, de acuerdo a las definiciones recién introducidas, escribiremos la expresión simplemente como
![{\displaystyle w^{4}+rw^{2}+sw+t=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82bc72fbb6a1246d5815a02173496367ae3f5351)
donde dicha expresión es la ecuación cuártica reducida, cuyas componentes se dan por:
![{\displaystyle r={\frac {c}{a}}-{\frac {3b^{2}}{8a^{2}}}={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1065f982cfe8e40d03dd88778d7430d22c485d07)
![{\displaystyle s={\frac {d}{a}}-{\frac {bc}{2a^{2}}}+{\frac {b^{3}}{8a^{3}}}={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f153fd648b2d47c34741bbd38c24349efa0e4410)
![{\displaystyle t={\frac {e}{a}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}-{\frac {3b^{4}}{256a^{4}}}={\frac {256a^{3}e-64a^{2}bd+16ab^{2}c-3b^{4}}{256a^{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d76a60f53eb3c879a4f104e21d29f8bf92b6812f)
En este momento, la idea importante es factorizar lo anterior en , acción que es posible ya que no está presente el término cúbico en el polinomio, y que al desarrollar la multiplicación distributivamente viene dado de forma explícita por lo siguiente:
.
Al identificar lo anterior con los términos , y , obtenemos las siguientes relaciones:
,
,
.
Si queremos encontrar el valor de primeramente, consideremos las relaciones expuestas como un sistema de ecuaciones de tres incógnitas:
![{\displaystyle {\begin{cases}\beta +\gamma -\alpha ^{2}=r\\\alpha (\gamma -\beta )=s\\\beta \gamma =t\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/356f944b453488f00025f1b4e3528235ae16a047)
Pasamos al miembro derecho de la primera ecuación, obtenemos:
![{\displaystyle \beta +\gamma =r+\alpha ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7afea297f4cdb313df0755b24633bafa883b5c89)
Pasamos al miembro derecho de la segunda ecuación, obtenemos:
![{\displaystyle \gamma -\beta ={\frac {s}{\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d6105480a2085b5fa6ac8a40891ca53916eb0b1)
Con los resultados obtenidos, formamos un nuevo sistema.
![{\displaystyle {\begin{cases}\beta +\gamma =r+\alpha ^{2}\\\gamma -\beta ={\frac {s}{\alpha }}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41dfc4a0a19e60e6059d64d4147e104fcd335c4b)
Sumamos y restamos las dos ecuaciones del nuevo sistema, y juntamos los resultados en otro nuevo sistema:
![{\displaystyle {\begin{cases}2\beta =r+\alpha ^{2}-{\frac {s}{\alpha }}\\2\gamma =r+\alpha ^{2}+{\frac {s}{\alpha }}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/840534294285c788b3b41f5d3cabba99d62cd7e9)
Multiplicamos las ecuaciones del sistema reciente, obtenemos:
![{\displaystyle 4\beta \gamma =\alpha ^{4}+2r\alpha ^{2}+r^{2}-{\frac {s^{2}}{\alpha ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7277fe439f9175caf66e310c7323af7a6da58f9)
Nos damos cuenta de que existe , por tanto lo reemplazamos por :
![{\displaystyle 4t=\alpha ^{4}+2r\alpha ^{2}+r^{2}-{\frac {s^{2}}{\alpha ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c5354cc30a70983a5ef6a56938cb5508073838f)
Pasamos al otro miembro de la igualdad con signo opuesto, esto da:
![{\displaystyle \alpha ^{4}+2r\alpha ^{2}+r^{2}-{\frac {s^{2}}{\alpha ^{2}}}-4t=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ac1f59f0ac536ffdb2a058ca7c58a309dd3a877)
Como hay un término fraccionario, procuramos multiplicar la ecuación por :
![{\displaystyle \alpha ^{6}+2r\alpha ^{4}+r^{2}\alpha ^{2}-s^{2}-4t\alpha ^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/210333dd90074814a80f5abdfcfeadee6d7c3371)
Por último, indicamos factor común en y :
![{\displaystyle \alpha ^{6}+2r\alpha ^{4}+(r^{2}-4t)\alpha ^{2}-s^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/541851aeb42fe71ace9246a0321a92a9f3288ff2)
Hacemos la sustitución (obteniendo una ecuación cúbica resolvente):
![{\displaystyle y^{3}+2ry^{2}+(r^{2}-4t)y-s^{2}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dea4999a7f8360d7332fd41de6d7a89b05dccb8a)
Entonces, sea una raíz positiva de la ecuación cúbica resolvente, solucionamos para :
![{\displaystyle \alpha ^{2}=y\rightarrow \alpha ={\sqrt {y}},y>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/774a9287e344f06170aa328ebf146c572a20af0e)
Por tanto, hemos hallado la solución para . Por tanto, reemplazando en el sistema anterior al reciente, obtenemos las soluciones y :
![{\displaystyle 2\beta =r+y-{\frac {s}{\sqrt {y}}}\rightarrow \beta ={\frac {r+y-{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24315c22e4fe0c6a129e237b861cc44ed230e1e0)
![{\displaystyle 2\gamma =r+y+{\frac {s}{\sqrt {y}}}\rightarrow \gamma ={\frac {r+y+{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/692cfc07292101594cb74f5a52f7d69659efc3a2)
Reemplazamos los valores de , y las dos ecuaciones cuadráticas:
![{\displaystyle (w^{2}+\alpha w+\beta )(w^{2}-\alpha w+\gamma )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9e8f392540501b7af48068b0db6d05ec6bbc002)
![{\displaystyle \left(w^{2}+{\sqrt {y}}w+{\frac {r+y-{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}\right)\left(w^{2}-{\sqrt {y}}w+{\frac {r+y+{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a9b8bcb4a57c67ef98381ada17f0be8ac9f13e5)
Aplicamos la ley del producto nulo en ambos factores, esto los separa en dos ecuaciones cuadráticas distintas:
![{\displaystyle w^{2}+{\sqrt {y}}w+{\frac {r+y-{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b84c607f1cc6ed6d3a4e4bc41e880fa6a295e1e)
![{\displaystyle w^{2}-{\sqrt {y}}w+{\frac {r+y+{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3df9e22291b8436145d55909fc010d4f044b4e1)
Calculamos el discriminante de cada ecuación cuadrática:
![{\displaystyle \Delta _{a}=b^{2}-4ac=\left({\sqrt {y}}\right)^{2}-4(1)\left({\frac {r+y-{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}\right)=-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bc2a8950372d60bb2e424790dc8f4f74119c36a)
![{\displaystyle \Delta _{b}=b^{2}-4ac=\left(-{\sqrt {y}}\right)^{2}-4(1)\left({\frac {r+y+{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}\right)=-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d65d609e4a64c328737bf2962b2d2cdabfb9dc88)
Resolvemos ambas ecuaciones por separado:
![{\displaystyle w_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta _{a}}}}{2a}}={\frac {-{\sqrt {y}}\pm {\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/118507a06cc00263263688a7ede57a560737af53)
![{\displaystyle w_{3,4}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta _{b}}}}{2a}}={\frac {{\sqrt {y}}\pm {\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cd81f7b3dff1cbc27d9647e221a64c2321113fc)
Entonces las soluciones de la ecuación cuártica reducida son:
![{\displaystyle w_{1}={\frac {{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/803de803b6d0b86c1aee4b05536ea0ae7537e424)
![{\displaystyle w_{2}={\frac {{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b995b202b9f19e9ac9bbdd111933c1dfdbcdb2c0)
![{\displaystyle w_{3}={\frac {-{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59dfed036a6ebde874cf9dccd1b0b8cba9391347)
![{\displaystyle w_{4}={\frac {-{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/325733966d2075ffb0c9e494952eb3d0ef525463)
Y al mismo tiempo las soluciones de la ecuación original son:
![{\displaystyle x_{1}={\frac {{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae907f3ed93b0d7dcfb95503790937e88ac33df2)
![{\displaystyle x_{2}={\frac {{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49cb3ed95bcb2091ebc64918034316587ac8d509)
![{\displaystyle x_{3}={\frac {-{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a284dfc58c20e846866d30e3ef01d6f3fd4e9265)
![{\displaystyle x_{4}={\frac {-{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6e82d3febfd94c0a6026a303b701b7268de6410)
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