Modelo de la varilla elástica

Una ilustración del modelo, con vectores tangentes de posición y unidad.

El modelo de la varilla elástica (MVE) en la física de polímeros es usado para describir el comportamiento de los polímeros semi- flexibles; es también conocido como el modelo de Kratky-Porod, en honor a sus inventores: Otto Kratky & Günther Porod en 1949.

Consideraciones teóricas

El MVE describe una varilla isotrópica que es continuamente flexible, esto contrasta con el Modelo de cadena libremente conectada (freely-jointed chain ) que es únicamente flexible en segmentos discretos. El Modelo de la varilla elástica es particularmente usado para describir polímeros rígidos, con segmentos sucesivos que muestran una especie de cooperación mutua: todos apuntando en aproximadamente la misma dirección. A temperatura ambiente, el polímero adopta una forma de conjunto suavemente curvado; a temperatura ${\displaystyle T=0}$ K , el polímero adopta una forma de varilla rígida.

Para un polímero de longitud ${\displaystyle l}$, definimos la trayectoria del polímero como${\displaystyle s\in (0,l)}$ , entonces${\displaystyle {\hat {t}}(s)}$pasa a ser el vector unitario tangencial a la cadena en ${\displaystyle s}$, y ${\displaystyle {\vec {r}}(s)}$ es el vector posición a lo largo de la cadena. Entonces:

${\displaystyle {\hat {t}}(s)\equiv {\frac {\partial {\vec {r}}(s)}{\partial s}}}$ Y la distancia extremo a extremo ${\displaystyle {\vec {R}}=\int _{0}^{l}{\hat {t}}(s)ds}$.^[1]​

Puede ocurrir que la orientación de la “función de correlación” para un modelo de varilla elástica siga un decaimiento exponencial.

${\displaystyle \langle {\hat {t}}(s)\cdot {\hat {t}}(0)\rangle =\langle \cos \;\theta (s)\rangle =e^{-s/P}\,}$,

Donde ${\displaystyle P}$ es por definición la característica de persistencia del polímero. Un valor útil es la medida del cuadrado de la distancia extremo a extremo del polímero

${\displaystyle {\begin{matrix}\langle R^{2}\rangle &=&\langle {\vec {R}}\cdot {\vec {R}}\rangle \\\\\ &=&\langle \int _{0}^{l}{\hat {t}}(s)ds\cdot \int _{0}^{l}{\hat {t}}(s')ds'\rangle \\\\\ &=&\int _{0}^{l}ds\int _{0}^{l}\langle {\hat {t}}(s)\cdot {\hat {t}}(s')\rangle ds'\\\\\ &=&\int _{0}^{l}ds\int _{0}^{l}e^{-\left|s-s'\right|/P}ds'\\\\\ \langle R^{2}\rangle &=&2Pl\left[1-{\frac {P}{l}}\left(1-e^{-l/P}\right)\right]\end{matrix}}}$

• Note que cuando ${\displaystyle l>\!>P}$, entonces ${\displaystyle \langle R^{2}\rangle =2Pl}$ . Esto puede ser utilizado para mostrar que un “segmento de Kuhn”(Kuhn segment) es igual al doble de la persistencia de un Modelo de varilla elástica.

Relevancia biológica

Varios importantes bio-polímeros pueden ser adecuadamente modelados con un Modelo de varilla elástica, por ejemplo:

• Doble hélice de ADN y ARN.
• ARN no estructurado.
• Polipéptidos no estructurados (proteínas).

Estiramiento de Polímeros con Modelo de varilla elástica

Instrumentos de laboratorio como el microscopio de fuerza atómica (AFM) y las pinzas ópticas son utilizados para simular la fuerza del comportamiento estirado de los polímero anteriormente mencionados. Una fórmula de interpolación que describe el alargamiento ${\displaystyle x}$ de un polímero MVE con perímetro de longitud ${\displaystyle L_{0}}$ y persistencia ${\displaystyle P}$ en reacción a una fuerza de estiramiento ${\displaystyle F}$ es:

${\displaystyle {\frac {FP}{k_{B}T}}={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{L_{0}}}\right)^{-2}-{\frac {1}{4}}+{\frac {x}{L_{0}}}}$

Donde ${\displaystyle k_{B}}$ es la constante de Boltzmann y ${\displaystyle T}$es la temperatura absoluta (Bustamante, et al., 1994; Marko et al., 1995). En el caso particular cuando se estira el ADN en un amortiguador fisiológico (cerca del pH neutro, y fuerza iónica de aproximadamente 100mM) a temperatura ambiente el encogimiento del ADN alrededor de su perímetro está representado por, esté encogimiento entálpico, sumando una constante de estiramiento ${\displaystyle K_{0}}$ a la ecuación anterior:

${\displaystyle {\frac {FP}{k_{B}T}}={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{L_{0}}}+{\frac {F}{K_{0}}}\right)^{-2}-{\frac {1}{4}}+{\frac {x}{L_{0}}}-{\frac {F}{K_{0}}}}$

Donde un valor típico para la constante de estiramiento del ADN de doble hélice es alrededor de 1000 pN y 45 nm para la persistencia(Wang, et al., 1997).

Referencias

1. Doi and Edwards (1999). The Theory of Polymer Dynamics. 

• O. Kratky, G. Porod (1949), "Röntgenuntersuchung gelöster Fadenmoleküle." Rec. Trav. Chim. Pays-Bas. 68: 1106-1123.
• J. F. Marko, E. D. Siggia (1995), "Stretching DNA." Macromolecules, 28: p. 8759.
• C. Bustamante, J. F. Marko, E. D. Siggia, and S. Smith (1994), "Entropic elasticity of lambda-phage DNA." Science, 265: 1599-1600. PMID 8079175
• M. D. Wang, H. Yin, R. Landick, J. Gelles, and S. M. Block (1997), "Stretching DNA with optical tweezers." Biophys. J., 72:1335-1346. PMID 9138579
• C. Bouchiat et al., "Estimating the Persistence Length of a Worm-Like Chain Molecule from Force-Extension Measurements", Biophys J, January 1999, p. 409-413, Vol. 76, No. 1

• Datos: Q503490