Grafo autocomplementario

Un grafo autocomplementario: el grafo azul N es isomorfo a su complemento, el grafo rojo con línea punteada Z.

Un grafo autocomplementario es un grafo que es isomorfo a su complemento. Los grafos autocomplementarios más simples son el camino de 4 vértices y el ciclo de 5 vértices.

Ejemplos

Todo grafo de Paley es autocomplementario.^[1]​ Todo grafo fuertemente regular y autocomplementario con menos de 37 vértices es un grafo de Paley; pero, hay grafos fuertemente regulares con 37, 41 y 49 vértices que no son grafos de Paley.^[2]​

El grafo de Rado es un grafo infinito autocomplementario.

Propiedades

Un grafo autocomplementario de n vértices tiene exactamente la mitad de aristas que su grafo completo, en este caso, n(n − 1)/4 aristas, y (si tiene más de un vértice) debe tener diámetro 2 o 3.^[1]​ Como n(n −1) debe ser divisible por 4, n debe ser congruente con 0 o 1 mod 4; por ejemplo, un grafo de 6 vértices no puede ser autocomplementario.

Complejidad computacional

Los grafos autocomplementarios son interesantes por su relación con el problema de isomorfismo de grafos: determinar si dos grafos autocomplementarios que son isomorfos y comprobar si un determinado grafo que es autocomplementario son a su vez polinómicamente equivalentes al problema general de isomorfismo de grafos.^[3]​

Referencias

1. Sachs, Horst (1962), «Über selbstkomplementäre Graphen», Publicationes Mathematicae Debrecen 9: 270-288, MR 0151953 ..
2. Rosenberg, I. G. (1982), «Regular and strongly regular selfcomplementary graphs», Theory and practice of combinatorics, North-Holland Math. Stud. 60, Amsterdam: North-Holland, pp. 223-238, MR 806985 ..
3. Colbourn, Marlene J.; Colbourn, Charles J. (1978), «Graph isomorphism and self-complementary graphs», SIGACT News 10 (1): 25-29, doi:10.1145/1008605.1008608 ..

• Datos: Q3736652