Geometría diferencial de hipersuperficies

En matemáticas, la geometría diferencial de hipersuperficies propone definiciones y métodos para analizar la geometría de hipersuperficies o variedades diferenciales de n dimensiones inmersas en una variedad riemanniana o el espacio euclídeo.

Aquí se tratará de las superficies en , dotado de una métrica euclídea, es decir .

Ecuación paramétrica de una hipersuperficie

Puesto que una superficie en es una variedad diferenciable de dimensión n, en un entorno V de una superficie las coordenadas de cualquier punto de V pueden escribirse en función de dos parámetros:

En general una hipersuperficie puede representarse de forma no paramétrica mediante la ecuación:

Que si f es suficientemente regular es equivalente localmente a las ecuaciones paramétricas anteriores.

Plano tangente

Dada una superficie de y un punto se define como el único hiperplano de que contiene al punto y (localmente) y la aproxima hasta términos de primer orden. La ecuación analítica de este hiperplano puede expresarse con ayuda de la ecuación paramétrica de la hipersuperificie:

Más sencillamente el hiperplano anterior puede escribirse como el conjunto que satisface la siguiente ecuación:

Aquí, se ha usado la simplificación de notación ,... etc

Vector normal a la superficie

Un vector director del hiperplano tangente es un vector normal a la hipersuperficie, usualmente existen dos elecciones posibles para un vector normal unitario (ambas relacionadas por un cambio de signo). Si se expresa la hipersuperificie mediante la superficie , el vector unitario normal se calcula simplemente como:

Primera forma fundamental

La primera forma fundamental I es la métrica inducida por la métrica euclídea en la hipersuperficie. Dicha métrica es un tensor 2-covariante, simétrico y definido sobre el espacio tangente a cada punto de la hipersuperficie H. De hecho (H, I) constituye una variedad de Riemann con tensor métrico I. La primera forma fundamental permite estimar longitudes sobre la hipersuperficie y ángulos de intersección entre curvas. Las componentes de la primera forma fundamental suelen designarse por :

La forma cuadrática anterior es positiva, lo que implica que . La primera forma anterior puede escribirse como una combinación lineal de productos tensoriales de las 1-formas coordenadas conforme a:

Estas pueden calcularse explícitamente a partir de la parametrización:


Véase también

Bibliografía

  • Girbau, J.: "Geometria diferencial i relativitat", Ed. Universitat Autònoma de Catalunya, 1993. ISBN 84-7929-776-X.
  • Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.
  • M. do Carmo: "Differential geometry of curves and surfaces".
  • John M. Lee (1997), Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, Graduate Texts in Mathematics 176, Springer-Verlag, ISBN 0-387-98271-X. 

Enlaces externos

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