Función generadora de probabilidad

Definición

Si ${\displaystyle X}$ es una variable aleatoria entonces la función generatriz de probabilidades de ${\displaystyle X}$ se define como las siguiente:

${\displaystyle G_{X}(t)={\text{E}}\left[t^{X}\right]}$

para ciertos valores ${\displaystyle t}$ tal que la esperanza exista.

En ocasiones se escribe ${\displaystyle G(t)}$ en lugar de ${\displaystyle G_{X}(t)}$ y se utilizan las letras f.g.p para referirse a la función generatriz de probabilidades.

Cálculo de la f.g.p.

Variables aleatorias discretas

Si ${\displaystyle X}$ es una variable aleatoria discreta entonces su función generatriz de probabilidades está dada por:

${\displaystyle G_{X}(t)={\text{E}}\left[t^{X}\right]=\sum \limits _{k=0}^{\infty }t^{k}P(X=k)}$

donde ${\displaystyle P(X=k)}$ con ${\displaystyle k=0,1,\dots }$ denota la función de probabilidad.

A partir de lo anterior, no es difícil ver que

${\displaystyle G_{X}(1)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }P(X=k)=1}$

Variables aleatorias continuas

Si ${\displaystyle X}$ es una variable aleatoria continua entonces su función generatriz de probabilidades está dada por

${\displaystyle G_{X}(t)={\text{E}}\left[t^{X}\right]=\int _{x\in S}t^{x}f(x)dx}$

donde ${\displaystyle f(x)}$ denota la función de densidad y ${\displaystyle S}$ denota el soporte de la variable aleatoria.

Propiedades

Para una variable aleatoria discreta ${\displaystyle X}$ se pueden obtener las distribuciones de probabilidad ${\displaystyle P(X=k)}$ como

${\displaystyle \displaystyle P(X=k)={\frac {1}{k!}}\left.{\frac {d^{k}G_{X}}{dt^{k}}}\right|_{t=0}}$

Si ${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle Y}$ son variables aleatorias independientes con f.g.p. ${\displaystyle G_{X}(t)}$ y ${\displaystyle G_{Y}(t)}$ respectivamente entonces

${\displaystyle G_{X+Y}(t)=G_{X}(t)G_{Y}(t)}$.

f.g.p. para algunas distribuciones discretas

Si ${\displaystyle X\sim {\text{Uniforme}}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ entonces

${\displaystyle G_{X}(t)={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}t^{x_{i}}}$.

Si ${\displaystyle X\sim {\text{Bernoulli}}(p)}$ entonces

${\displaystyle G_{X}(t)=1-p+pt}$.

Si ${\displaystyle X\sim {\text{Binomial}}(n,p)}$ entonces

${\displaystyle G_{X}(t)=(1-p+pt)^{n}}$.

Si ${\displaystyle X\sim {\text{Geométrica}}(p)}$ entonces

${\displaystyle G_{X}(t)={\frac {p}{1-t(1-p)}}}$.

Si ${\displaystyle X\sim {\text{Poisson}}(\lambda )}$ entonces

${\displaystyle G_{X}(t)=e^{-\lambda (1-t)}}$.

Véase también

• Función característica
• Función generadora de momentos
• Esperanza
• Varianza
• Covarianza
• Variable aleatoria

• Datos: Q372071