En álgebra, una función cuadrática, un polinomio cuadrático, o un polinomio de grado 2, es una función polinómica con una o más variables en la que el término de grado más alto es de segundo grado.
Una función cuadrática univariada (variable única) tiene la forma[1]
En este caso la variable única es x. La gráfica de una función cuadrática univariada es una parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje y, como se muestra a la derecha.
Si la función cuadrática se establece igual a cero, entonces el resultado es una ecuación cuadrática. Las soluciones a la ecuación univariable se denominan raíces de la función univariable.
El caso bivariable en términos de las variables x e y tiene la forma
con al menos uno de los coeficientes a, b o c no iguales a cero. Una ecuación que establece esta función igual a cero da lugar a una sección cónica (una circunferencia u otra elipse, una parábola o una hipérbola).
Una función cuadrática en tres variables x, y, y z contiene exclusivamente los términos x2, y2, z2, xy, xz, yz, x, y, z, y una constante:
con al menos uno de los coeficientesa, b, c, d, e o f de los términos de segundo grado que no son cero.
En general, puede haber un número arbitrariamente grande de variables, en cuyo caso la superficie resultante se llama cuadrática, pero el término de grado más alto debe ser de grado 2, como x2, xy, yz, etc.
Etimología
El adjetivo cuadrático proviene de la palabra latinaquadrātum ("cuadrado"). Un término como x2 se llama cuadrado en álgebra porque es el área de un cuadrado con lado x.
Cuando se usa el término "polinomio cuadrático", a veces se hace referencia a "tener un grado de exactamente 2", y otras veces, a "tener un grado como máximo de 2". Si el grado es inferior a 2, se puede hablar de un "caso degenerado". Por lo general, el contexto permite establecer cuál de los dos significados se utiliza.
A veces, la palabra "orden" se usa con el significado de "grado", por ejemplo, un polinomio de segundo orden.
Variables
Un polinomio cuadrático puede involucrar una sola variablex (el caso univariable), o múltiples variables como x, y y z (el caso multivariable).
El caso de una variable
Cualquier polinomio cuadrático de variable única puede escribirse como
Cualquier polinomio cuadrático con dos variables puede escribirse como
donde x e y son las variables y a, b, c, d, e y f son los coeficientes. Tales polinomios son fundamentales para el estudio de las secciones cónicas, que se caracterizan por igualar la expresión para f ( x, y ) a cero. Del mismo modo, polinomios cuadráticos con tres o más variables corresponden a superficies cuádricas y a hipersuperficies. En álgebra lineal, los polinomios cuadráticos se pueden generalizar a la noción de una forma cuadrática en un espacio vectorial.
Formas de una función cuadrática de una variable
Una función cuadrática de una variable se puede expresar en tres formas:[2]
se llama la forma estándar.
se llama la forma factorizada, donde r1 y r2 son las raíces de la función cuadrática y las soluciones de la ecuación cuadrática correspondiente.
se llama la forma del vértice, donde h y k son las coordenadas x e y del vértice, respectivamente.
El coeficiente a es el mismo valor en las tres formas. Para convertir la forma estándar en la formafactorizada, solo se necesita la fórmula cuadrática para determinar las dos raíces r1 y r2. Para convertir la forma estándar en la forma devértice, se necesita un proceso denominado completar el cuadrado. Para convertir la forma factorizada (o la forma de vértice) en la forma estándar, basta con operar los factores de cada una de ellas.
Gráfico de la función de una variable
Independientemente del formato, la gráfica de una función cuadrática de una variable es una parábola (como se muestra a la derecha). De manera equivalente, esta es la gráfica de la ecuación cuadrática de dos variables .
Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba.
Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo.
El coeficiente a controla el grado de curvatura del gráfico; una magnitud mayor de a le da al gráfico una apariencia más cerrada (fuertemente curvada).
Los coeficientes b y a controlan conjuntamente la ubicación del eje de simetría de la parábola (también la coordenada x del vértice), que tiene la expresión:
El coeficiente c controla la altura de la parábola; más específicamente, es la altura de la parábola donde intercepta el eje y.
Vértice
El vértice de una parábola es el lugar donde pasa de descender a ascender. Por lo tanto, también es un punto máximo o mínimo, donde la inclinación de la curva se anula al cambiar de signo. Si la función cuadrática está en forma de vértice, el vértice es (h, k). Usando el método de completar el cuadrado, se puede convertir la fórmula estándar
en
y entonces, el vértice (h, k) de la parábola en forma estándar es
Si la función cuadrática está en forma factorizada
el promedio de las dos raíces, es decir,
es la coordenada x del vértice, y por lo tanto, el vértice (h, k) es
El vértice también es el punto máximo si a < 0, o el punto mínimo si a > 0.
La línea recta vertical
que pasa a través del vértice es también el eje de simetría de la parábola.
Si entonces la ecuación describe una hipérbola, como se puede ver al elevar al cuadrado ambos lados. Las direcciones de los ejes de la hipérbola están determinadas por la ordenada del punto mínimo de la parábola correspondiente. Si la ordenada es negativa, entonces el eje mayor de la hipérbola (a través de sus vértices) es horizontal, mientras que si la ordenada es positiva, entonces el eje mayor de la hipérbola es vertical.
Si entonces la ecuación describe un círculo u otra elipse o nada en absoluto. Si la ordenada del punto máximo de la parábola correspondiente es positivo, entonces su raíz cuadrada describe una elipse, pero si la ordenada es negativa, entonces describe un lugar geométrico de puntos vacío.
Iteración
Para iterar una función, se aplica la función repetidamente, utilizando la salida de una iteración como entrada de la siguiente.
No siempre es posible deducir la forma analítica de , lo que significa la enésima iteración de , dado que el superíndice puede extenderse a los números negativos, refiriéndose a la iteración de la inversa de si existe el inverso. Pero hay algunos casos analíticamente manejables.
Por ejemplo, para la ecuación iterativa
se tiene que
donde
y
Entonces, por inducción, se puede obtener
donde se puede calcular fácilmente como
Finalmente, se tiene que
como solución.
Se puede ver el artículo sobre la conjugación topológica para más detalles sobre la relación entre f y g, y la entrada sobre el polinomio cuadrático complejo para el comportamiento caótico en la iteración general.
con el parámetro 2<r<4 puede resolverse en ciertos casos, uno de los cuales es caótico y el otro no. En el caso caótico r = 4, la solución es
donde el parámetro de condición inicial es dado por . Para valores racionales de , después de un número finito de iteraciones se convierte en una secuencia periódica. Pero casi todos son irracionales, y por lo tanto nunca se repite. Entonces se determina que no es periódico y que exhibe una dependencia sensible de las condiciones iniciales, por lo que se dice que es caótico.
La solución de la aplicación logística cuando r=2 es
para . Ya que , para cualquier valor de distinto del punto fijo inestable 0, el término tiende a 0 como n tiende a infinito, y entonces tiende al punto fijo estable
Función cuadrática de dos variables
Una función cuadrática de dos variables es un polinomio de segundo grado de la forma
donde A, B, C, D y E son coeficientes fijos y F es el término constante. Tal función describe una superficie cuadrática. Haciendo igual a cero, se describe la intersección de la superficie con el plano , que es un lugar geométrico de puntos equivalente a una sección cónica.
Mínimo/máximo
Si la función no tiene máximo o mínimo; Su gráfico forma un paraboloide hiperbólico.
Si la función tiene un mínimo si A>0, y un máximo si A<0; su gráfica forma un paraboloide elíptico. En este caso, el mínimo o máximo se produce en , donde:
Si y la función no tiene máximo o mínimo; y su gráfica forma un cilindro parabólico.
Si y la función alcanza el máximo/mínimo en una recta: un mínimo si A>0 y un máximo si A<0; y su gráfica forma un cilindro parabólico.
Shintaro Morimoto森本慎太郎2022Informasi latar belakangNama lahirShintaro MorimotoLahir15 Juli 1997 (umur 26)AsalPrefektur Kanagawa, JepangPekerjaanPenyanyi, aktorArtis terkaitJohnny's Jr. Shintaro Morimoto (森本慎太郎code: ja is deprecated , Morimoto Shintaro) adalah seorang idola Jepang yang lahir pada tanggal 15 Juli 1997. Shintaro berada di bawah manajemen artis Johnny & Associates. Ia merupakan anggota dari 6TONES, subunit dari Johnny's Jr. yang beranggotakan pemeran-p...
روبرتو ترايسيلا معلومات شخصية الميلاد 18 مارس 1959 (العمر 64 سنة)سيرنوسكو سول نافيجليو الطول 1.83 م (6 قدم 0 بوصة) مركز اللعب مدافع الجنسية إيطاليا المسيرة الاحترافية1 سنوات فريق م. (هـ.) 1977–1979 إنتر ميلان 5 (0) 1979–1987 هيلاس فيرونا 255 (3) 1987–1990 يوفنتوس 80 (2) 1990–1991 بولونيا 23 (0)
هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (يناير 2020) إن حيادية وصحة هذه المقالة محلُّ خلافٍ. ناقش هذه المسألة في صفحة نقاش المقالة، ولا تُزِل هذا القالب من غير توافقٍ على ذلك. (نقاش) مقدمة هذه المقالة بحاجة لإعاد...
Lichen simpleks ckronik Neurodermatitis juga dikenal sebagai lichen simpleks kronik, adalah penyakit kulit gatal mirip dengan dermatitis atopik.[1] Neurodermatitis cenderung menghasilkan satu bercak fokus atau banyak yang timbul karena sering menggosok atau menggaruk daerah yang sama dari waktu ke waktu.[1] Bercak ini cenderung tebal dan bersisik, dan disukai di daerah pada tubuh, termasuk tengkuk leher, bahu, punggung kaki atau pergelangan kaki, pergelangan tangan, dan punggu...
De structuur van Goud(V)fluoride dimeer Au2F10 Goud(V)fluoride of goudpentafluoride is een verbinding van goud met fluor met formule Au2F10. Het Romeins cijfer V duidt erop, dat goud hier valentie +5 vertoont. Het is de enige bekende verbinding van goud met valentie +5. Het is een rode, vaste stof die oplosbaar is in fluorzuur. Het is ook het enige pentafluoride dat als dimeer voorkomt. Andere pentafluorides komen voor als monomeer (P, As, Cl, Br, I), tetrameer (Nb, Ta, Cr, Mo, W, Tc, Re, Ru,...
День триффідів'The Day of the Triffids' Жанр жахи, фантастикаРежисер Стів СеккеліФред ФренсісПродюсер Джордж ПітчерФіліп Йордан Бернард ГлассерСценарист Джордж ВіндемБернард ГордонФіліп ЙорданНа основі День триффідівУ головних ролях Говард КілНіколь МореДжанетт СкоттОперато...
Sainte-Marie Entidad subnacional Sainte-MarieLocalización de Sainte-Marie en FranciaCoordenadas 44°27′56″N 5°28′30″E / 44.465555555556, 5.475Entidad Comuna de Francia y Comuna delegada • País Francia • Región Provenza-Alpes-Costa Azul • Departamento Altos Alpes • Distrito Gap • Cantón Serres • Mancomunidad Comunidad de comunas de Sisteron-Buëch • Comuna ValdouleAlcalde delegado Jean-Louis Correard (2017-2020...
Cet article est une ébauche concernant le catholicisme. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. José FagnanoBiographieNaissance 9 mars 1844Rocchetta TanaroDécès 18 septembre 1916 (à 72 ans)SantiagoNationalité italienne (17 mars 1861 - 18 septembre 1916)Activités Prêtre catholique (à partir du 19 septembre 1868), missionnaireAutres informationsOrdre religieux Salésiensmodifier - modifier le ...
Ne doit pas être confondu avec Liste des guerres et batailles du Premier Empire français. Cet article regroupe les guerres et batailles ayant impliqué la France au cours du Second Empire français, de son institution en 1852 par Napoléon III, jusqu'à sa chute au cours de la Guerre franco-allemande de 1870. Principaux conflits, coalitions engagées et résultats Victoire de la France en vert, statu quo en bleu, défaites en rouges. Début Fin Nom du conflit Belligérants Lieu Issue Allié...
Стовпи Європейського Союзу «Стовпи» або підвалини Європейського Союзу (англ. Pillars of the European Union) — поширена метафора, згідно з якою Європейський Союз — наче храм на трьох стовпах. Стовпи — складники Договору про Європейський Союз, а саме: Європейські спільноти ...
1960 film by Stanley Kubrick SpartacusTheatrical re-release poster (1967)Directed byStanley KubrickScreenplay byDalton TrumboBased onSpartacus1951 novelby Howard FastProduced byEdward LewisStarring Kirk Douglas Laurence Olivier Jean Simmons Charles Laughton Peter Ustinov John Gavin Tony Curtis CinematographyRussell MettyEdited byRobert LawrenceMusic byAlex NorthProductioncompanyBryna ProductionsDistributed byUniversal InternationalRelease date October 6, 1960 (1960-10-06) (...
У Вікіпедії є статті про інших людей із прізвищем Мушак. Мушак Юрій Федорович Народився 12 лютого 1904(1904-02-12)с. Бряза, нині с. Козаківка, Болехівська міська радаПомер 22 листопада 1973(1973-11-22) (69 років)ЛьвівПоховання Личаківський цвинтар[1]Громадянство ЗУНР → УРСРНаці...
Attribution of human traits to non-human entities In this illustration by Milo Winter of Aesop's fable, The North Wind and the Sun, a personified North Wind tries to strip the cloak off a traveler. Personification of Music by Antonio Franchi, c. 1650 Anthropomorphism is the attribution of human traits, emotions, or intentions to non-human entities.[1] It is considered to be an innate tendency of human psychology.[2] Personification is the related attribution of human for...
Mobile virtual network operator Net10 redirects here. For the indoor American football tournament, see Arena Football League. TracFone Wireless, Inc.TypeSubsidiaryIndustryTelecommunicationsPredecessorTopp Telecom, Inc.Founded1996; 27 years ago (1996), in Miami, Florida, United StatesHeadquartersMiami, Florida, United StatesNumber of locations90,000 retail locationsArea servedUnited States (including Hawaii, Alaska, and Puerto Rico)Products Clearway Wireless for Business Clar...
American film by Craig Brewer FootlooseTheatrical release posterDirected byCraig BrewerScreenplay by Craig Brewer Dean Pitchford Story byDean PitchfordBased onCharactersby Dean PitchfordProduced by Craig Zadan Neil Meron Dylan Sellers Brad Weston Starring Kenny Wormald Julianne Hough Andie MacDowell Dennis Quaid CinematographyAmy VincentEdited byBilly FoxMusic by Deborah Lurie Productioncompanies MTV Films[1] Spyglass Entertainment[1] Unique Features[1] Dylan Sellers...
No debe confundirse con la sección de fútbol femenino. La historia del Club Atlético Boca Juniors transcurre desde 1905 hasta la actualidad siendo el fútbol desde los comienzos la esencia del club y, aunque posteriormente el crecimiento de la institución promovió el desarrollo de otras actividades como las bochas, básquet, entre otros, aquel permaneció como la disciplina deportiva sobre la cual se sustenta la entidad y la que le valió su reconocimiento a nivel nacional e internaciona...
Swiss padaOlimpiadeKode IOCSUIKONAsosiasi Olimpiade SwissSitus webwww.swissolympic.ch (dalam bahasa Jerman)Medali 106 120 119 Total 345 Penampilan Musim Panas18961900190419081912192019241928193219361948195219561960196419681972197619801984198819921996200020042008201220162020Penampilan Musim Dingin192419281932193619481952195619601964196819721976198019841988199219941998200220062010201420182022Penampilan terkait lainnyaOlimpiade Interkala 1906 Berikut ini adalah daftar pembawa bend...
Lightweight and very fine netting This article is about a type of netting. For the French commune, see Tulle. A stack of tulle fabrics in a variety of colors Tulle (/tuːl/ TOOL) is a form of netting that is made of small-gauge thread, netted in a hexagonal pattern with small openings, and frequently starched to provide body or stiffness. It is a finer textile than the textile referred to as net.[1] It is a lightweight, very fine, stiff netting. It can be made of various fibres, inclu...