En álgebra lineal la factorización de una matriz es la descomposición de la misma como producto de dos o más matrices según una forma canónica.
Según las aplicaciones de la factorización podemos distinguir los siguientes tipos de factorizaciones:
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Las siguientes factorizaciones se utilizan en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, cálculo de determinantes e inversión de matrices.
- Aplicable a: una matriz cuadrada A
- Factorización:
, donde L es una matriz triangular inferior y U es una matriz triangular superior
- Notas: La factorización LU expresa el método de Gauss en forma matricial. En efecto, PA = LU donde P es una matriz de permutación. Los elementos de la diagonal principal de L son todos iguales a 1. Una condición suficiente de que exista la factorización es que la matriz A sea invertible.
- Resolución del sistema de ecuaciones lineales Ax = b: primero se resuelve el sistema de ecuaciones Ly = b y después Ux = y.
- Existencia: Una condición necesaria y suficiente es que todos los menores principales de A sean distintos de cero.[1]
- Métodos de cálculo: método de Crout que obtiene una matriz U cuyos elementos de la diagonal son todos 1. El método de Doolittle es una modificación del mismo.
Factorización ![{\displaystyle LDL^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61a66281d5ca0f02cac966650ad3836ec5608e50)
- Aplicable a: una matriz simétrica A.
- Factorización:
donde L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal y
denota su matriz traspuesta. La factorización es única.
- Existencia: Una condición suficiente es que todos los menores principales de A sean distintos de cero.
- Notas: Si la matriz es definida positiva la factorización existe y es única siendo los elementos de la diagonal positivos.
- Aplicable a: una matriz simétrica definida positiva A
- Factorización:
, donde L es una matriz triangular inferior con entradas en la diagonal positivas.
- Notas: La factorización siempre existe y es única.
- Aplicable a: una matriz A m por n.
- Factorización:
donde Q es una matriz ortogonal m por m, y R es una matriz triangular superior m por n.
- Métodos de cálculo: La factorización QR puede calcularse mediante el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt aplicado a las columnas de A, mediante el uso de transformaciones de Householder y mediante transformaciones de Givens.
- Notas: La factorización QR puede utilizarse para "resolver" el sistema de ecuaciones lineales Ax = b cuando el número de ecuaciones es distinto al de incógnitas.
- Aplicable a: una matriz A m-por-n.
- Factorización:
, donde Σ es una matriz diagonal mxn, y U y V son matrices ortogonales mxm y nxn respectivamente, siendo
la traspuesta de V. Los elementos de la diagonal de Σ son los valores singulares de A y son mayores o iguales a cero.
- Notas: a la matriz
, donde
es igual a la matriz Σ reemplazando los valores singulares por sus recíprocos, se le llama pseudoinversa de A.
Otros tipos de factorizaciones
- Aplicable a: una matriz cuadrada A
- Factorización: A = CDC-1
- Existencia:
- Aplicable a: una matriz cuadrada B
- Factorización:
- Aplicable a: una matriz A de dimensiones
![{\displaystyle m\times n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12b23d207d23dd430b93320539abbb0bde84870d)
- Factorización:
, donde
es una matriz
y
es una matriz ![{\displaystyle r\times n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ccbe6b22b3607379f89a234100cc910d129d155)
- Aplicable a: una matriz cuadrada A
- Factorización:
- Aplicable a: una matriz cuadrada simétrica A
- Factorización:
Véase también
Referencias
Bibliografía