Espacio prehilbertiano
En matemáticas, un espacio prehilbertiano o espacio prehilbert es un espacio vectorial provisto de un producto escalar. Más concretamente, es un par , donde es un espacio vectorial sobre un cuerpo y es un producto escalar en .
El espacio prehilbertiano es un tipo de espacio métrico con la métrica inducida por la norma que como veremos puede definirse a partir del producto escalar.
Un espacio prehilbertiano que además sea un espacio completo, se dirá que es un espacio de Hilbert o hilbertiano. Si es de dimensión finita se dirá que es espacio euclídeo.
Una condición necesaria para que un espacio prehilbertiano sea un espacio de Hilbert es que el cuerpo base sea o , así ningún espacio prehilbertiano sobre puede ser un espacio de Hilbert.
Definiciones
Formalmente, un espacio prehilbertiano es un espacio vectorial V sobre un cuerpo K (Puede ser o ), el cual posee una operación definida con la siguiente función:
![{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\rightarrow \mathbf {K} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5bf5f175792063d1d21e9da97a3382f5b595dbf)
llamada producto escalar, que satisface ciertos axiomas:
![{\displaystyle \forall x,y\in V,\ \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e1a96fb7a204f24ac468bbc1bfe22cab43b076c)
- Nótese que si
, la propiedad de hermítica es la simetría ordinaria:
![{\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79f9e2205953e67e57deb38a33ede49f9d8dc912)
- Esta condición implica que
para todo , porque .
![{\displaystyle \forall a\in K,\ \forall x,y\in V,\ \langle ax,y\rangle =a\langle x,y\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6724154e98c9ebac7ab3d194271411a5f63b67f)
![{\displaystyle \forall x,y,z\in V,\ \langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2494d4eda994ebdb2ad04f7d92f1ab816496206)
- Combinando esta propiedad con la de ser hermítica:
![{\displaystyle \forall b\in K,\ \forall x,y\in V,\ \langle x,by\rangle ={\overline {b}}\langle x,y\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/296b7ecf30c5939159e02f2fb0aa61dce8034231)
![{\displaystyle \forall x,y,z\in V,\ \langle x,y+z\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52dfb6aa9953d0a0a4fc88f2b3198cfae196596f)
- En el caso de que el cuerpo sea
esta propiedad implica que el producto escalar es bilineal.
(Tiene sentido, ya que para todo .)
- Además, el único vector que al hacer el producto escalar con él mismo es cero, es el vector nulo, es decir:
![{\displaystyle \langle x,x\rangle =0\;\;\Leftrightarrow \;\;x=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b21b4b83a696b914f1e7043f3a494ffc0bf958b6)
Normas en espacios prehilbertianos
En los espacios con producto escalar se define una norma
![{\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf3bc02e50c147bed811cfa18ee322665cb864bc)
La norma está bien definida, por ser siempre el producto escalar de un vector por sí mismo un número real mayor o igual que cero. En espacios euclídeos define la "longitud" del vector x. Además se trata de una norma por cumplir las condiciones:
es siempre positiva y vale cero si y solamente si x vale cero.
![{\displaystyle \|r\cdot x\|=|r|\cdot \|x\|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c9330645e982f730df1bc85840e5635fb885abb)
![{\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f482994b431528001d36e6941384a400d98e6846)
Usando los axiomas ya mencionados podemos demostrar los siguientes teoremas:
![{\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2af560aa93084d37f2ccfbeb4a14a9fd76e12c3)
- la igualdad se cumple si y solo si x e y son linealmente dependientes
- Esta es una de la más importantes desigualdades en la matemática. También es conocida en la literatura matemático rusa como la desigualdad Cauchy-Bunyakowski-Schwarz
- La prueba de este teorema y sus aplicaciones pueden encontrarse en el artículo sobre la desigualdad de Cauchy-Schwarz
![{\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c7992ec0b83f4397cb547e9e2713fe13e1ab724)
![{\displaystyle \|x\|^{2}+\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c12007742388779a5f0f281c7fd58dee4cd1bb)
- Estas últimas dos identidades sólo requieren expresar la definión de la norma en términos del producto interno, hacer las operaciones y usar los axiomas de norma.
- Una fácil generalización del teorema pitagórico que puede ser probada por inducción es la siguiente:
- Si x1, ..., xn son vectores ortogonales, o sea, <xj, xk> = 0 para todo j, k distinto, entonces
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c827e483c60b57734c04f1ca9f2318fb042e57d)
Ejemplos
- Un ejemplo trivial son los números reales con la multiplicación estándar como producto interno.
![{\displaystyle \langle x,y\rangle :=xy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2003a157aa78548d564ff271236918975376ea0)
- Más generalmente, cualquier espacio Euclidiano
con el producto escalar es un espacio con producto interno.
![{\displaystyle \langle (x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\rangle :=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd59fba430a1d25caac630c6f08f5e5b20f4411)
- tenemos la norma:
![{\displaystyle \|x\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd66efbe3b7b86c2e8f8e2d2d69b4113bc61b9fd)
Véase también
Enlaces externos
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