Un espacio vectorial topológico (EVT) localmente convexo
es B-completo o un espacio de Ptak, si cada subespacio
está cerrado en la topología *débil en
(es decir,
o
) siempre que
esté cerrado en
(cuando a
se le da la topología subespacial de
) para cada subconjunto equicontinuo
.
La completitud de B está relacionada con la completitud de
, donde un EVT localmente convexo
es
-completo si cada subespacio denso
está cerrado en
siempre que
esté cerrado en
(cuando
tiene dada la topología del subespacio de
) para cada subconjunto equicontinuo
.
Caracterizaciones
En esta sección,
será un espacio vectorial topológico (EVT) localmente convexo.
Las siguientes expresiones son equivalentes:
es un espacio de Ptak.
- Cada aplicación lineal casi abierta continua de
en cualquier espacio localmente convexo
es un homomorfismo topológico.
- Una aplicación lineal
se llama casi abierta si para cada entorno
del origen en
,
es denso en algún entorno del origen en ![{\displaystyle u(X).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/705d894e01ec2b6f517c75a5df6d10903dd8baf8)
Los siguientes enunciados también son equivalentes:
es
completo.
- Cada aplicación lineal continua biunívoca, casi abierta de
en cualquier espacio localmente convexo
es un isomorfismo de un EVT.
Propiedades
Cada espacio de Ptak es completo. Sin embargo, existen espacios de Hausdorff localmente convexos completos que no son espacios de Ptak.
Teorema del homomorfismo
Cada aplicación lineal continua desde un espacio de Ptak a un espacio barrilado es un homomorfismo topológico.
|
Sea
una aplicación lineal casi abierta cuyo dominio es denso en un espacio completo
y cuyo rango es un espacio localmente convexo
. Supóngase que la gráfica de
está cerrada en
. Si
es inyectiva o si
es un espacio de Ptak, entonces
es una aplicación abierta.
Ejemplos y condiciones suficientes
Existen espacios Br completos que no son B completos.
Cada espacio de Fréchet es un espacio de Ptak. El dual fuerte de un espacio reflexivo de Fréchet es un espacio de Ptak.
Cada subespacio vectorial cerrado de un espacio de Ptak (respectivamente, un espacio completo Br) es un espacio de Ptak (respectivamente, un espacio completo
), y cada cociente de Hausdorff de un espacio de Ptak es un espacio de Ptak.
Si cada cociente de Hausdorff de un EVT
es un espacio Br completo, entonces
es un espacio B completo.
Si
es un espacio localmente convexo tal que existe una sobreyección casi abierta continua
de un espacio de Ptak, entonces
es un espacio de Ptak.
Si un EVT
tiene un hiperplano cerrado que es B completo (respectivamente, Br completo), entonces
es B completo (respectivamente, Br completo).
Véase también
Referencias
Bibliografía
- Husain, Taqdir; Khaleelulla, S. M. (1978). Barrelledness in Topological and Ordered Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 692. Berlin, New York, Heidelberg: Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC 4493665.
- Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
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