Para el conjunto A en el que se ha definido una relación binaria entre sus elementos, que expresaremos y siendo x e y elementos de A la relación se representa:
que se lee: x antecede a y.
Si la relación cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva, es por lo tanto es un conjunto parcialmente ordenado.
Si se cumple que:
el elemento x antecede a y o y antecede a x, se dice que x y y son elementos comparables.
Si se cumple que:
el elemento x no antecede a y y que y no antecede a x, se dice que x y y son no comparables.
Dado el conjunto B subconjunto de A
Los mayorantes de B son todos los elementos de A que son antecedidos por todos los elementos de B, en este caso: i, j, k y l son mayorantes de B.
Otras definiciones
Entre todos los mayorantes o cotas superiores del conjunto A en el que se ha definido una relación binaria: , siendo este conjunto respecto a la relación binaria un conjunto parcialmente ordenado.
Dado el conjunto B subconjunto de A
Se denomina supremo de B a la menor de estas cotas superiores.
Si, además, el supremo pertenece no sólo al conjunto A sino también a B se denomina máximo de B.
1
2
3
4
mayorantes: i, j, k, l.
mayorantes: no existe
mayorantes: i, j, k, l.
mayorantes: i, j, k, l.
supremo: i.
supremo: no existe
supremo: i.
supremo: i.
mayor: i.
mayor: no existe
mayor: i.
mayor: i.
minorantes: a.
minorantes: a.
minorantes: no existe
minorantes: a, b, d, e.
ínfimo: a
ínfimo: a.
ínfimo: no existe
ínfimo: e.
menor: no existe
menor: no existe
menor: no existe
menor: e.
Ejemplos
Para el intervalo de números reales(0; 10]: 10 y 11 son mayorantes. 10 sería el supremo del intervalo, y, como además pertenece al mismo, también sería el máximo.
Entre todos los minorantes o cotas inferiores del conjunto P, se denomina ínfimo de S a la mayor de estas cotas inferiores. Si, además el ínfimo pertenece no sólo al conjunto P sino también a S se denomina mínimo de S.
Ejemplo
Así dado el conjunto A:
Para el conjunto A en el que se ha definido una relación binaria entre sus elementos, que expresaremos y siendo x e y elementos de A la relación se representa:
que se lee: x antecede a y.
Si la relación cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva, es por lo tanto es un conjunto parcialmente ordenado.
Si se cumple que:
el elemento x antecede a y o y antecede a x, se dice que x y y son elementos comparables.
Si se cumple que:
el elemento x no antecede a y y que y no antecede a x, se dice que x y y son no comparables.
Dado el conjunto B subconjunto de A
Los minorante de B son todos los elementos de A que anteceden a todos los elementos de B, en este caso: a, b, d y e son minorantes de B
En el ejemplo c no es minorante de B al ser no comparable con e ni con h.
Para el intervalo de números reales(0 ; 10]: 0 y -7 son minorantes. 0 sería el ínfimo, pero como no pertenece al intervalo, no sería mínimo del intervalo.
Para este otro intervalo de números reales-5 y -23 son minorantes, mientras que 0 es su ínfimo y también el mínimo ya que pertenece al intervalo.
Programación
Refiere a la propiedad que cumple cierto valor dentro de un conjunto/lista L de valores ordenados. Como ejemplo se encuentra esta definición aplicada a la solución del problema The Playboy Chimp para dar usa solución eficiente en tiempo.
Dado un elemento C que puede o no pertenecer a dicho conjunto. x es cualquier valor de dicho conjunto que puede ser igual a C.
Lower bound: El mayor valor de C que es estrictamente menor. (∃x |x ∈ L: x < C )
Upper bound: El menor valor de C que es estrictamente mayor. (∃x |x ∈ L: x > C )
Implementación en Python
deflower_bound(a,c):#Inferior (Izq) el mas grande de los pequeñosans=-1ifa[0]>=c:ans=-1else:low,hi=0,len(a)whilelow+1!=hi:mid=low+((hi-low)//2)ifa[mid]<c:low=midelse:hi=midans=lowreturnansdefupper_bound(a,c):#superior (Der) el mas pequeño de los grandesans=-1ifa[len(a)-1]<=c:ans=-1else:low,hi=0,len(a)whilelow+1!=hi:mid=low+((hi-low)//2)ifa[mid-1]>c:hi=midelse:low=midans=lowreturnans# El algoritmo retorna el indice que cumple con la definición.# si retorna -1.. el valor no se puede encontrar en a ; a es una lista ordenada ascendentemente de números natural.# Se llama así: print( down_bound(L, c), upper_bound(L, c) )
Ejemplos de la salida del algoritmo
Cada resultado en Down bound y en Upper bound es el correspondiente al valor en C. C es una lista de números.
L = [2,3,5,7,12,15] ; L es una lista de números naturales