En álgebra ecuación recíproca se llama a la ecuación polinómica
en la que si
distinto de cero, es una solución, entonces también lo será
.
Desplegando
Esto implica que al reemplazar x por 1/x en la ecuación propuesta, y eliminar los denominadores, se obtiene la misma ecuación, esto es:
entonces se verifica:
- ak = an-k para k = 0, 1,...,n.[1]
Ecuación cuártica recíproca
Sin embargo, en el caso de la ecuación algebraica de cuarto grado del tipo
se denomina recíproca (e diferente de 0), si existe un número α ≠ 0 tal que, entre los coeficientes de la ecuación a, b. c, d, e hayan las relaciones ![{\displaystyle d=\alpha b,e=\alpha ^{2}a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94629a3230739565ba22545b9fd8f6c9cbc7b995)
Empleando la sustitución
después de dividir entre x2 la ecuación original, y teniendo en cuenta que
se obtiene una ecuación cuadrática respecto a y:
.[2]
la que da dos raíces de y, que permite estructurar dos ecuaciones de segundo grado en x
![{\displaystyle x^{2}-y_{2}x+\alpha =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a0230173a37b6ded8e3f055c9bfa4d812c1a66)
donde y1 e y2 son raíces de la ecuación cuadrática en y (1).
Casos de ecuación cuártica recíproca
Ecuación simétrica
Cuando α = 1, en el caso de la ecuación cuártica recíproca, resulta
, los coeficientes de los términos equidistantes del término cuadrático son idénticos[3]
Ecuación antisimétrica
Asumiendo que α = -1, da como resultado
, la que se conoce como ecuación antisimétrica de cuarto grado. Los coeficientes de los términos de grado impar son opuestos.[3]
Véase también
Referencias
- ↑ "Diccionario de matemáticas" (2001), Espinoza de los Monteros, Julián (Coordinador); ISBN 84-8055-355-3, pg.93
- ↑ "álgebra superior" (1982) Hall and Knight; Uteha, México, D.F. ISBN 968-438-763-6 pg.120
- ↑ a b Hall-Knigt. Op. cit
Bibliografía
Lehmann H., Charles:(1969) Álgebra; Editorial Limusa-Wiley, S.A. México, D.F.