Una ecuación diferencial puede ser homogénea en dos aspectos: cuando los coeficientes de los términos diferenciales en el caso del primer orden son funciones homogéneas de las variables; o para el caso lineal de cualquier orden cuando no existen los términos constantes.
Tipo homogénea ecuaciones diferenciales de primer orden
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma:
![{\displaystyle M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db1fa7bf618ecb784871abf9baa993f084a4875e)
es del tipo homogénea si las funciones
y
son funciones homogéneas de mismo grado
.[1] Esto es, multiplicando cada variable por un parámetro
, se halla
y ![{\displaystyle N(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caff687a0f7e261bef240b4c4da0aea921249a95)
Así,
![{\displaystyle {\frac {M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b15679f2bb0f87d5d9ab7aecd07bf9ee9d68627f)
Método de resolución
En el cociente
![{\displaystyle {\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4814b4e5ac53f1a16e979719eddc7468eabfe02)
haciendo
para simplificar esta ecuación para una función
de la variable simple
:
![{\displaystyle {\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}={\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(1,y/x)}{N(1,y/x)}}=f(y/x)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/415fec1eb879dc7e238eba775bf2fa9d9f28405e)
Se introduce el cambio de variables
; diferenciando usando la regla del producto:
![{\displaystyle {\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b744f7f3455ab3dfb751b387ce1f376289828c38)
así transformando la ecuación diferencial original en la forma separable
![{\displaystyle x{\frac {du}{dx}}=-f(u)-u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be2fe32a84a5151776bc27543a0df17fb1857a5d)
esta forma puede ahora integrarse directamente (ver ecuación diferencial ordinaria).
Caso especial
Una ecuación diferencial de primer orden de la forma (a, b, c, e, f, g son coeficientes constantes)
![{\displaystyle (ax+by+c)dx+(ex+fy+g)dy=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76104cb853f6135378d04da49e9862ca513b2ae4)
donde af ≠ be
puede transformarse en un tipo homogéneo mediante una transformación lineal de ambas variables (
y
son constantes):

Ahora determinar dichas constantes de forma que los términos independientes sean nulos.
Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas
Una ecuación diferencial lineal puede representarse con un operador lineal actuando sobre y(x) donde x es usualmente la variable independiente e y es la variable dependiente. Entonces, la forma general de una ecuación diferencial lineal homogénea es
![{\displaystyle L(y)=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb9a72d87cfddf308912a5f4532dff634e1366e)
donde L es un operador diferencial, una suma de las derivadas (definiendo como "derivada 0" a la función original, no derivada), cada una multiplicada por otra función
de x:
![{\displaystyle L=\sum _{i=0}^{n}f_{i}(x){\frac {d^{i}}{dx^{i}}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/131d58bd7ffc723549fe889d8baade7e87e5cf20)
donde
pueden ser constantes, pero no todas las
pueden ser nulas.
Por ejemplo, la siguiente ecuación diferencial es homogénea:
![{\displaystyle \sin(x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4{\frac {dy}{dx}}+y=0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a9228d19c15b9b086455e07ce35cedd0a35a407)
sin embargo las siguientes dos son inhomogéneas:
![{\displaystyle 2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4x{\frac {dy}{dx}}+y=\cos(x)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa0c1b5cfd49e8e1326bf714a83979f560669973)
![{\displaystyle 2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-3x{\frac {dy}{dx}}+y=2\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2caa893569e61e4719f198d6428faebb34129c7b)
La existencia de un término constante es una condición suficiente para que una ecuación sea inhomogénea, como el ejemplo anterior.
Ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes de orden mayor o igual a dos
Son de especial relevancia este otro tipo de ecuaciones, en cuya versión más simplificada son de la forma :
, donde los coeficientes son constantes con
.
La solución de este tipo de ecuación es la combinación lineal de exponenciales cuyo argumento es el producto de la variable independiente con la que tiene dependencia la función, y la constante real, imaginaria o compleja
que soluciona el polinomio característico de la ecuación, esto es:
De forma explícita aplicado a una ecuación de segundo orden:
las soluciones serán
, de modo que se anule para todo
el término que acompaña la exponencial cumpliéndose la igualdad. De este modo, la solución viene dada por
. Las constantes
y
quedan definidas en caso de darse tantas condiciones iniciales o de contorno como el grado de la ecuación, en este caso dos. Por ejemplo, dado que
y
las constantes se obtendrían resolviendo el sistema de ecuaciones:
Véase también
Referencias
Bibliografía
Enlaces externos