Ecuación de Colebrook-White

La Ecuación de Colebrook-White es una fórmula usada en hidráulica para el cálculo del factor de fricción de Darcy ${\displaystyle \lambda }$ también conocido como coeficiente de rozamiento. Se trata del mismo factor ${\displaystyle f}$ que aparece en la ecuación de Darcy-Weisbach.

La expresión de la fórmula de Colebrook-White (1937, 1939)^[1]​^[2]​ es la siguiente:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}=-2\log _{10}{\left({\frac {k/D}{3,7}}+{\frac {2,51}{Re{\sqrt {\lambda }}}}\right)}}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle Re}$	Número de Reynolds
${\displaystyle k/D}$	Rugosidad relativa
${\displaystyle \lambda }$	Factor de fricción

El campo de aplicación de esta fórmula se encuentra en la zona de transición de flujo laminar a flujo turbulento y flujo turbulento. Para la obtención de ${\displaystyle \lambda }$ es necesario el uso de métodos iterativos. Otra forma más sencilla y directa de obtener el valor de ${\displaystyle \lambda }$ es hacer uso del diagrama de Moody.

Para el caso particular de tuberías lisas la rugosidad relativa, es decir la relación entre la rugosidad en las paredes de la tubería y el diámetro de la misma, es muy pequeño con lo que el término ${\displaystyle k/D}$ es muy pequeño y puede despreciarse el primer sumando situado dentro del paréntesis de la ecuación anterior. Quedando en este caso particular la ecuación del siguiente modo:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}=2\log _{10}{\left(Re{\sqrt {\lambda }}\right)}-0,8}$

Para números de Reynolds muy grandes el segundo sumando situado dentro del paréntesis de la ecuación de Colebrook-White es despreciable. En este caso la viscosidad no influye en la práctica a la hora de determinar el coeficiente de fricción, este únicamente depende de la rugosidad relativa ${\displaystyle k/D}$ de la tubería. Esto se manifiesta en el diagrama de Moody en que en la curva para valores elevados de ${\displaystyle Re}$ se hacen rectas horizontales.

Aproximaciones conocidas para el cálculo del factor de fricción

Para la solución de la ecuación implícita de Colebrook-White se han planteado diversos técnicas divididas en dos tipos principalmente^[3]​

Métodos iterativos implícitos.

Existen varias formas de solucionar la ecuación de Colebrook-White de forma iterativa pero se presenta aquí solo el algoritmo de Newton-Raphson.^[4]​

Solución implícita por Iteración de Método de Newton-Raphson

La ecuación se plantea con un proceso iterativo en ${\displaystyle \lambda }$.

Primero es necesario suponer un valor de ${\displaystyle \lambda =0.001}$

Calcular:

${\displaystyle x={1 \over {\lambda }^{0.5}}}$

${\displaystyle a={{k/\ D} \over 3.70}}$

${\displaystyle b={2.51 \over Re}}$

${\displaystyle f(x)={-2.0\cdot log_{10}{(a+b\cdot x)}}}$

${\displaystyle f'(x)={-2.0 \over {ln(10)}}\cdot ({b \over {a+b\cdot x}})}$

${\displaystyle \Delta ={{f(x)-x} \over {f'(x)-1}}}$

Si ${\displaystyle \Delta >~1e^{-8}}$ entonces

${\displaystyle x=x-\Delta }$

Repetir hasta lograr convergencia en ${\displaystyle x}$.

Por último calcular ${\displaystyle \lambda }$ a partir de ${\displaystyle x}$.

${\displaystyle \lambda ={1 \over x^{2}}}$

Donde ${\displaystyle \lambda }$ está en función de:

Símbolo	Nombre	Unidad
${\displaystyle k}$	Rugosidad de la tubería	(mm) o (pulg)
${\displaystyle D}$	Diámetro	(mm) o (pulg)
${\displaystyle Re}$	Número de Reynolds

Métodos directos, explícitos.

Existen muchas ecuaciones explícitas a la ecuación de Colebrook-White como:

• Moody (1944,^[5]​ 1947^[6]​),

• Wood (1966^[7]​),

• Eck (1973^[8]​),

• Churchill (1973^[9]​),

• Swamee & Jain (1976^[10]​),

• Chen (1979^[11]​),

• Round (1980^[12]​),

• Barr (1981^[13]​),

• Zigrang and Sylvester (1982^[14]​),

• Haaland (1983^[15]​),

• Serghides (1984^[16]​),

• Manadilli (1997^[17]​),

• Romeo et al (2002^[18]​),

• Sonnad and Goudar (2006^[19]​),

• Buzelli (2008^[20]​),

• Avci and Karagoz (2009^[21]​),

• Papaevangelou et al. (2010^[22]​) and

• Brkic (2011^[23]​).

Sin embargo debe recordarse que estas ecuaciones corresponden a aproximaciones y regresiones de valores calculados a partir de métodos implícitos como el de Newton-Raphson. Tan sólo la ecuación de Avci and Karagoz (2009) ha sido desarrollada a partir de datos de laboratorio recientes conocidos como "Princeton University super-pipe data".^[24]​

Solución explícita con la ecuación de Goudar–Sonnad

La ecuación de Goudar es una de las aproximaciones para hallar el factor de fricción ${\displaystyle \lambda }$ de Darcy–Weisbach, en tuberías circulares; la cual ha sido calculada de la ecuación de Colebrook–White. Teniéndose:

${\displaystyle a={2 \over \ln(10)}}$

${\displaystyle b={k/D \over 3.7}}$

${\displaystyle d={\ln(10)Re \over 5.02}}$

${\displaystyle s={bd+\ln(d)}}$

${\displaystyle q={{s}^{s/(s+1)}}}$

${\displaystyle g={bd+\ln {d \over q}}}$

${\displaystyle z={\ln {q \over g}}}$

${\displaystyle D_{LA}=z{g \over {g+1}}}$

${\displaystyle D_{CFA}=D_{LA}\left(1+{\frac {z/2}{(g+1)^{2}+(z/3)(2g-1)}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}={a\left[\ln \left({\frac {d}{q}}\right)+D_{CFA}\right]}}$

Donde λ está en función de:

• Rugosidad de la tubería, ${\displaystyle k}$ (mm, pulgada)
• Diámetro, ${\displaystyle D}$ (mm, pulgada)
• Número de Reynolds, ${\displaystyle Re}$ (adimensional).

Discusión acerca del error de las aproximaciones

Brkic,^[3]​ encontró que las aproximaciones con menor error máximo (<0.14%) son las de Romeo-Royo-Monzon, Buzelli, Serghides, Zigrang-Silvester. Mientras que del otro lado de la balanza, las aproximaciones con mayor error relativo (>8.0%) fueron las de Eck, Round, Moody, Wood, Rao-Kumar.

Un resultado interesante de este trabajo radica en que la aproximación más usada para aproximar la ecuación de Colebrook suele ser la de Swamee y Jain, pero esta presenta un error máximo relativo superior al 2.0%.

Referencias

1. Colebrook, C.F. (febrero de 1939). «Turbulent flow in pipes, with particular reference to the transition region between smooth and rough pipe laws». Journal of the Institution of Civil Engineers (Londres). 
2. Colebrook, C. F. and White, C. M. (1937). «Experiments with Fluid Friction in Roughened Pipes». Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences 161 (906): 367-381. Bibcode:1937RSPSA.161..367C. doi:10.1098/rspa.1937.0150. 
3. Brkic, D. (2011). «Review of explicit approximations to the colebrook relation for flow friction». Journal of Petroleum Science and engineering (77): 34 - 48. doi:10.1016/j.petrol.2011.02.006. 
4. Saldarriaga, J.G. (2001). "Hidraulica de Tuberias".: 85–90.
5. Moody, L.F., (1944). Friction factors for pipe flow. Trans. ASME 66 (8), 671–684. |«Copia archivada». Archivado desde el original el 8 de septiembre de 2008. Consultado el 23 de junio de 2009. 
6. Moody, L.F., (1947). An approximate formula for pipe friction factors. Trans. ASME 69(12), 1005–1011.
7. Wood, D.J., (1966). An explicit friction factor relationship. Civil. Eng. 36 (12), 60–61
8. Eck, B., (1973). Technische Stromungslehre. Springer, New York
9. Churchill, S.W., (1973). Empirical expressions for the shear stress in turbulentflow in commercial pipe. AIChE J. 19 (2), 375–376
10. Swamee, P.K., Jain, A.K., (1976). Explicit equations for pipeflow problems. J. Hydraul. Div. ASCE 102 (HY5), 657–664
11. Chen NH. (1979) An explicit equation for friction factor in pipe. Ind Eng Chem Fund 1979; 18(3):296‐297.
12. Round, G.F., (1980). An explicit approximation for the friction factor-Reynolds number relation for rough and smooth pipes. Can. J. Chem. Eng. 58 (1), 122–123.
13. Barr DIH. Solutions of the Colebrook‐White function for resistance to uniform turbulent flow. Proc Inst Civil Eng 1981;2(71):529.
14. Zigrang D.J, Sylvester N.D. (1982). Explicit approximations to the solution of the Colebrook’s friction factor equation. AIChE J 1982;28:514–515.
15. Haaland S.E. (1983) Simple and explicit formulas for the friction factor in turbulent pipe flow. Journ Fluids Eng 1983:105.
16. Serghides, T.K., (1984). Estimate friction factor accurately. Chem. Eng. 91 (5), 63–64
17. Manadilli G. (1997) Replace implicit equations with signomial functions. Chem Eng J 1997; 104(8):129.
18. Romeo E, Royo C, Monzon A. (2002)Improved explicit equations for estimation of the friction factor in rough and smooth pipes. Chem Eng J 2002;86(3):369–374
19. Goudar, C.T., Sonnad, J.R. (2008). "Comparison of the iterative approximations of the Colebrook–White equation". Hydrocarbon Processing Fluid Flow and Rotating Equipment Special Report2008: 79–83.
20. Buzelli D. Calculating friction in one step. Mach Des 2008;80(12):54–55.
21. Avci, A., Karagoz, I. (2009). "A novel explicit equation for friction factor in smooth and rough pipes". Journal of Fluid Engineering ASME 131(6),1-4 061203
22. Papaevangelou, G., Evangelides, C., Tzimopoulos, C., 2010. A new explicit equation for the friction coefficient in the Darcy–Weisbach equation, Proceedings of the Tenth Conference on Protection and Restoration of the Environment: PRE10, July 6–9, 2010. Greece Corfu 166, 1–7.
23. Brkić, D. (2011a). An explicit approximation of the Colebrook equation for fluid flow friction factor. Petrol. Sci. Tech. 29(xx), xxx–xxx. accepted, in press.
24. «http://www.princeton.edu/mae/people/faculty/smits/homepage/data-1/». 

• Datos: Q3730825