La ecuación de Chebyshev es la ecuación diferencial lineal de segundo orden.
![{\displaystyle (1-x^{2}){d^{2}y \over dx^{2}}-x{dy \over dx}+p^{2}y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c248286311b8dde52dc8621ba12da355e22670ea)
donde p es una constante real (o compleja). La ecuación lleva el nombre del matemático ruso Pafnuty Chebyshev.
Las soluciones se pueden obtener por series de potencias:
![{\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b5e031f87f9e8202a1804c0c565e4ffc564527)
donde los coeficientes obedecen la relación de recurrencia
![{\displaystyle a_{n+2}={(n-p)(n+p) \over (n+1)(n+2)}a_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b2e2cb7886d26147afa55e65417d0e8901d11d)
La serie converge para
(nota, x puede ser complejo), como se puede ver aplicando el criterio de d'Alembert a la recurrencia.
La recurrencia puede comenzar con valores arbitrarios de a0 y a1, lo que lleva al espacio bidimensional de soluciones que surge de ecuaciones diferenciales de segundo orden. Las opciones estándar son:
- a0 = 1 ; a1 = 0, conducen a la solución
![{\displaystyle F(x)=1-{\frac {p^{2}}{2!}}x^{2}+{\frac {(p-2)p^{2}(p+2)}{4!}}x^{4}-{\frac {(p-4)(p-2)p^{2}(p+2)(p+4)}{6!}}x^{6}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7001398d9094c0b316e6ee54308c1325de46e583)
y
- a0 = 0 ; a1 = 1, conducen a la solución
![{\displaystyle G(x)=x-{\frac {(p-1)(p+1)}{3!}}x^{3}+{\frac {(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)}{5!}}x^{5}-\cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1043ceb92a1d418fdbe0e64c0547f7d0a6c6d4c)
La solución general es cualquier combinación lineal de estas dos.
Cuando p es un número entero no negativo, una u otra de las dos funciones tiene su serie acabada con un número finito de términos: F termina si p es par y G termina si p es impar. En este caso, esa función es un polinomio de grado p y es proporcional al polinomio de Chebyshev de primer tipo
si p es par
si p es impar
Referencias
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