Por ejemplo, el anillo de los números enteros es un caso particular de DFU, pero por lo general, no todo anillo es DFU; es fácil comprobar que en el anillo ciertos elementos admiten más de una factorización.
Así, , y los cuatro factores son irreducibles no asociados y no son unidades. Es un ejemplo de Anillo de factorización, pero no única. De hecho en este mismo anillo los cuatro factores no son ideales primos, pues los ideales que generan en no lo son:
por lo tanto
Un resultado importante sobre este tipo de anillos es que si A es un DFU entonces A[X] también lo es.