Gamma Parámetros
α α -->
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
real )
λ λ -->
>
0
{\displaystyle \lambda >0}
real ) Dominio
x
∈ ∈ -->
(
0
,
∞ ∞ -->
)
{\displaystyle x\in (0,\infty )}
Función de densidad (pdf)
λ λ -->
(
λ λ -->
x
)
α α -->
− − -->
1
e
− − -->
λ λ -->
x
Γ Γ -->
(
α α -->
)
{\displaystyle {\frac {\lambda (\lambda x)^{\alpha -1}e^{-\lambda x}}{\Gamma (\alpha )}}}
Función de distribución (cdf)
1
Γ Γ -->
(
α α -->
)
γ γ -->
(
α α -->
,
λ λ -->
x
)
{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\;\gamma (\alpha ,\lambda x)}
Media
α α -->
λ λ -->
{\displaystyle {\frac {\alpha }{\lambda }}}
Moda
α α -->
− − -->
1
λ λ -->
por
α α -->
≥ ≥ -->
1
{\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\lambda }}{\text{ por }}\alpha \geq 1}
0
por
α α -->
<
1
{\displaystyle 0{\text{ por }}\alpha <1}
Varianza
α α -->
λ λ -->
2
{\displaystyle {\frac {\alpha }{\lambda ^{2}}}}
Entropía
α α -->
− − -->
ln
-->
λ λ -->
+
ln
-->
Γ Γ -->
(
α α -->
)
+
(
1
− − -->
α α -->
)
ψ ψ -->
(
α α -->
)
{\displaystyle \alpha -\ln \lambda +\ln \Gamma (\alpha )+(1-\alpha )\psi (\alpha )}
Función generadora de momentos (mgf)
(
λ λ -->
λ λ -->
− − -->
t
)
α α -->
t
<
λ λ -->
{\displaystyle \left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)^{\alpha }\quad t<\lambda }
Función característica
(
λ λ -->
λ λ -->
− − -->
i
t
)
α α -->
{\displaystyle \left({\frac {\lambda }{\lambda -it}}\right)^{\alpha }}
Función de Densidad de una Gama. En teoría de probabilidad y Estadística , la distribución gamma es una distribución con dos parámetros que pertenece a las distribuciones de probabilidad continuas. La distribución exponencial , distribución de Erlang y la distribución χ² son casos particulares de la distribución gamma. Hay dos diferentes parametrizaciones que suelen usarse
Con parámetro de forma
k
{\displaystyle k}
θ θ -->
{\displaystyle \theta }
Con parámetro de forma
α α -->
=
k
{\displaystyle \alpha =k}
λ λ -->
=
1
/
θ θ -->
{\displaystyle \lambda =1/\theta }
Si una variable aleatoria continua
X
{\displaystyle X}
distribución gamma con parámetros
α α -->
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
λ λ -->
>
0
{\displaystyle \lambda >0}
X
∼ ∼ -->
Γ Γ -->
(
α α -->
,
λ λ -->
)
{\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}
Si
X
∼ ∼ -->
Γ Γ -->
(
α α -->
,
λ λ -->
)
{\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}
función de densidad es
f
X
(
x
)
=
λ λ -->
Γ Γ -->
(
α α -->
)
(
λ λ -->
x
)
α α -->
− − -->
1
e
− − -->
λ λ -->
x
{\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\lambda }{\Gamma (\alpha )}}(\lambda x)^{\alpha -1}e^{-\lambda x}}
para
x
>
0
{\displaystyle x>0}
Γ Γ -->
(
α α -->
)
=
∫ ∫ -->
0
∞ ∞ -->
t
α α -->
− − -->
1
e
− − -->
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}e^{-t}dt}
es la función gamma y satisface
Γ Γ -->
(
2
)
=
Γ Γ -->
(
1
)
=
1
{\displaystyle \Gamma (2)=\Gamma (1)=1}
Para cualquier
α α -->
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
Γ Γ -->
(
α α -->
+
1
)
=
α α -->
Γ Γ -->
(
α α -->
)
{\displaystyle \Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha )}
Si
n
∈ ∈ -->
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
Γ Γ -->
(
n
+
1
)
=
n
!
{\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}
Γ Γ -->
(
1
2
)
=
π π -->
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}
Si
n
∈ ∈ -->
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
Γ Γ -->
(
n
2
)
=
π π -->
(
n
− − -->
1
)
!
2
n
− − -->
1
(
n
− − -->
1
2
)
!
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)={\frac {{\sqrt {\pi }}(n-1)!}{2^{n-1}\left({\frac {n-1}{2}}\right)!}}}
La función de distribución acumulada de una variable aleatoria
X
∼ ∼ -->
Γ Γ -->
(
α α -->
,
λ λ -->
)
{\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}
F
X
(
x
)
=
∫ ∫ -->
0
x
λ λ -->
Γ Γ -->
(
α α -->
)
(
λ λ -->
y
)
α α -->
− − -->
1
e
− − -->
λ λ -->
y
d
y
{\displaystyle F_{X}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\lambda }{\Gamma (\alpha )}}(\lambda y)^{\alpha -1}e^{-\lambda y}\;dy}
Si
X
{\displaystyle X}
X
∼ ∼ -->
Γ Γ -->
(
n
,
λ λ -->
)
{\displaystyle X\sim \Gamma (n,\lambda )}
n
∈ ∈ -->
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
X
{\displaystyle X}
distribución de Erlang ) entonces su función de distribución acumulada está dada por
F
X
(
x
)
=
1
− − -->
∑ ∑ -->
k
=
0
n
− − -->
1
(
λ λ -->
x
)
k
k
!
e
− − -->
λ λ -->
x
=
∑ ∑ -->
k
=
n
∞ ∞ -->
(
λ λ -->
x
)
k
k
!
e
− − -->
λ λ -->
x
{\displaystyle {\begin{aligned}F_{X}(x)&=1-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(\lambda x)^{k}}{k!}}e^{-\lambda x}\\&=\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {(\lambda x)^{k}}{k!}}e^{-\lambda x}\end{aligned}}}
Propiedades
Si
X
{\displaystyle X}
X
∼ ∼ -->
Γ Γ -->
(
α α -->
,
λ λ -->
)
{\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}
X
{\displaystyle X}
La media de la variable aleatoria
X
{\displaystyle X}
E
[
X
]
=
α α -->
/
λ λ -->
{\displaystyle {\text{E}}[X]=\alpha /\lambda }
Varianza
La varianza de la variable aleatoria
X
{\displaystyle X}
Var
[
X
]
=
α α -->
λ λ -->
2
{\displaystyle {\text{Var}}[X]={\frac {\alpha }{\lambda ^{2}}}}
Momentos
El
n
{\displaystyle n}
variable aleatoria
X
{\displaystyle X}
E
-->
[
X
n
]
=
α α -->
(
α α -->
+
1
)
⋯ ⋯ -->
(
α α -->
+
n
− − -->
1
)
λ λ -->
n
{\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]={\frac {\alpha (\alpha +1)\cdots (\alpha +n-1)}{\lambda ^{n}}}}
para
n
∈ ∈ -->
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
La función generadora de momentos está dada por
M
X
(
t
)
=
(
λ λ -->
λ λ -->
− − -->
t
)
α α -->
{\displaystyle M_{X}(t)=\left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)^{\alpha }}
para
λ λ -->
>
t
{\displaystyle \lambda >t}
Suma de Gammas
Si
X
i
∼ ∼ -->
Γ Γ -->
(
α α -->
i
,
λ λ -->
)
{\displaystyle X_{i}\sim \Gamma (\alpha _{i},\lambda )}
i
=
1
,
2
,
… … -->
,
n
{\displaystyle i=1,2,\dots ,n}
∑ ∑ -->
i
=
1
n
X
i
∼ ∼ -->
Γ Γ -->
(
∑ ∑ -->
i
=
1
n
α α -->
i
,
λ λ -->
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i},\lambda \right)}
Escalar
Si
X
∼ ∼ -->
Γ Γ -->
(
α α -->
,
λ λ -->
)
{\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}
c
>
0
{\displaystyle c>0}
c
X
∼ ∼ -->
Γ Γ -->
(
α α -->
,
λ λ -->
/
c
)
{\displaystyle cX\sim \Gamma \left(\alpha ,\lambda /c\right)}
Puede demostrarse que
E
-->
[
ln
-->
(
X
)
]
=
ψ ψ -->
(
α α -->
)
− − -->
ln
-->
(
λ λ -->
)
{\displaystyle \operatorname {E} [\ln(X)]=\psi (\alpha )-\ln(\lambda )}
donde
ψ ψ -->
{\displaystyle \psi }
función digamma .
Se puede utilizar R (lenguaje de programación) para hallar los valores de la función de densidad
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
función de distribución
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
variable aleatoria continua
X
∼ ∼ -->
Γ Γ -->
(
α α -->
,
λ λ -->
)
{\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}
Para
x
>
0
{\displaystyle x>0}
f
X
(
x
)
=
λ λ -->
Γ Γ -->
(
α α -->
)
(
λ λ -->
x
)
α α -->
− − -->
1
e
− − -->
λ λ -->
x
{\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\lambda }{\Gamma (\alpha )}}(\lambda x)^{\alpha -1}e^{-\lambda x}}
entonces para evaluar la función de densidad
f
X
(
x
)
{\displaystyle f_{X}(x)}
# d=density function
dgamma ( x , α, λ)
La función de distribución acumulada de la distribución Gamma está dada por
F
X
(
x
)
=
∫ ∫ -->
0
x
λ λ -->
Γ Γ -->
(
α α -->
)
(
λ λ -->
y
)
α α -->
− − -->
1
e
− − -->
λ λ -->
y
d
y
{\displaystyle F_{X}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\lambda }{\Gamma (\alpha )}}(\lambda y)^{\alpha -1}e^{-\lambda y}\;dy}
para
x
>
0
{\displaystyle x>0}
F
X
(
x
)
{\displaystyle F_{X}(x)}
# p=probability distribution function
pgamma ( x , α, λ)
Distribuciones Relacionadas
Si
X
1
,
X
2
,
… … -->
,
X
n
{\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}
X
i
∼ ∼ -->
Exp
(
λ λ -->
)
{\displaystyle X_{i}\sim {\text{Exp}}(\lambda )}
∑ ∑ -->
i
=
1
n
X
i
∼ ∼ -->
Γ Γ -->
(
n
,
λ λ -->
)
{\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(n,\lambda \right)}
distribución de Erlang y es un caso particular de la distribución gama cuando el parámetro
α α -->
=
n
∈ ∈ -->
N
{\displaystyle \alpha =n\in \mathbb {N} }
Si
X
∼ ∼ -->
Γ Γ -->
(
1
,
λ λ -->
)
{\displaystyle X\sim \Gamma \left(1,\lambda \right)}
X
∼ ∼ -->
Exp
(
λ λ -->
)
{\displaystyle X\sim {\text{Exp}}(\lambda )}
Si
X
∼ ∼ -->
Γ Γ -->
(
n
2
,
1
2
)
{\displaystyle X\sim \Gamma \left({\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}
n
∈ ∈ -->
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
X
∼ ∼ -->
χ χ -->
n
2
{\displaystyle X\sim \chi _{n}^{2}}
Enlaces externos
![{\displaystyle {\text{E}}[X]=\alpha /\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e9d09169f4d133d994eaa85c554dac08a191b4b)
![{\displaystyle {\text{Var}}[X]={\frac {\alpha }{\lambda ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e324c06c297528e5d3a63f9176abcf9f13a6d3a8)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]={\frac {\alpha (\alpha +1)\cdots (\alpha +n-1)}{\lambda ^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d94f00117e39d9131ca916aaf8a81b019db436be)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\ln(X)]=\psi (\alpha )-\ln(\lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/851a0a36812edea4802f79b097400b31e049ad46)
