En geometría diferencial, dentro de las matemáticas, una distribución en una variedad es una asignación de subespacios vectoriales a cada punto de la variedad, satisfaciendo ciertas propiedades. En las situaciones más comunes, se pide que una distribución sea un subfibrado vectorial del fibrado tangente .
Las distribuciones que satisfacen una condición adicional de integrabilidad dan lugar a foliaciones, es decir, particiones de la variedad en subvariedades más pequeñas. Estas nociones tienen varias aplicaciones en muchos campos de las matemáticas, por ejemplo: sistemas integrables, geometría de Poisson, geometría no-conmutativa, geometría subriemanniana, topología diferencial, etc.
Aunque comparten el mismo nombre, las distribuciones presentadas en este artículo no tienen nada que ver con las distribuciones en el sentido del análisis.
Definición
Sea una variedad suave; una distribución (suave) asigna a cada punto un subespacio vectorial suavemente. Más precisamente, consiste en una colección de subespacios vectoriales con la siguiente propiedad: alrededor de cualquier existe un entorno y una colección de campos vectoriales suaves en tal entorno, , tales que, para cualquier punto , span
Tal conjunto de campos vectoriales suaves locales también se denomina base local de . Nótese que, en principio, el número puede ser diferente para diferentes entornos. La notación se utiliza para denotar tanto la asignación como el subconjunto .
Distribuciones regulares
Dado un entero , una distribución suave en se llama regular de rango si todos los subespacios tienen la misma dimensión. Localmente, esto equivale a pedir que cada base local esté dada por campos vectoriales linealmente independientes.
De manera más compacta, una distribución regular es un subfibrado vectorial de rango (esta es en realidad la definición más comúnmente utilizada). Las distribuciones de rango en ocasiones reciben el nombre de -distribuciones planas y, cuando , se habla de distribuciones hiperplanas.
Clases especiales de distribuciones
A menos que se indique lo contrario, por "distribución" nos referimos en adelante a una distribución regular suave (en el sentido explicado anteriormente).
Distribuciones involutivas
Dada una distribución , sus secciones consisten en los campos vectoriales que son tangentes a , y forman un subespacio vectorial del espacio de todos los campos vectoriales suaves en . Una distribución se llama involutiva si es también una subálgebra de Lie: en otras palabras, para dos campos vectoriales cualesquiera , el corchete de Lie pertenece a .
Localmente, esta condición significa que para cada punto existe una base local de la distribución en un entorno de tal que, para todo , el corchete de Lie está en el span de , es decir es una combinación lineal de
Las distribuciones involutivas son un ingrediente fundamental en el estudio de los sistemas integrables. Una idea relacionada ocurre en la mecánica hamiltoniana: dos funciones y en una variedad simpléctica se dice que están en involución mutua si su paréntesis de Poisson se anula.
Distribuciones integrales y foliaciones
Una (sub)variedad integral para una distribución de rango es una subvariedad de dimensión tal que para cada . Una distribución se llama integrable si para todo punto hay una variedad integral al que este pertenezca.
Es sencillo ver que cualquier distribución integrable es automáticamente involutiva. Lo contrario es menos trivial pero también es cierto; resultado que se conoce como teorema de Frobenius. Localmente, la integrabilidad significa que para cada punto existe una carta, , tal que, para cada , el espacio está generado por los vectores coordenados y las rebanadas son variedades integrales de .
Dada una foliación de , es relativamente sencillo probar que los espacios tangentes a las hojas de la foliación dan lugar a una distribución involutiva. Recíprocamente, toda distribución involutiva determina una foliación cuyas hojas son precisamente las subvariedades integrales conexas y maximales de tal distribución. Este último enunciado se conoce como teorema de Frobenius global.
Distribuciones débilmente regulares
Dada cualquier distribución , considere su bandera de Lie asociada (téngase en cuenta que algunos autores usan una graduación decreciente negativa en su lugar):
, donde , y .
En otras palabras, denota el conjunto de campos vectoriales generados por la iterada i-ésima de los corchetes de Lie de los elementos en .
En estas condiciones, se dice débilmente regular (o simplemente regular según algunxs autorxs) si existe una secuencia de subfibrados vectoriales anidados tales que (por lo tanto ).[1] Téngase en cuenta que, en tal caso, la bandera de Lie asociada se estabiliza en un punto determinado , ya que los rangos de están acotados superiormente por . La cadena de enteros se llama entonces el vector de crecimiento de .
Cualquier distribución débilmente regular tiene un fibrado vectorial graduado asociado:Más aún, el corchete de Lie de los campos vectoriales da lugar, para cualquier , a un morfismo fibrado -lineal:, llamado -curvatura. En particular, la -curvatura es idénticamente nula si y solo si la distribución es involutiva.
Pegando las curvaturas, se obtiene un morfismo , también llamado corchete de Levi, que hace un fibrado de álgebras de Lie nilpotentes; por esta razón, también se conoce como la nilpotenciación de .[1]
El fibrado , sin embargo, en general no es localmente trivial, ya que las álgebras de Lie no son isomorfas al variar el punto . Si esto sucede, la distribución débilmente regular también se llama regular (o fuertemente regular según algunxs autorxs). Tengáse en cuenta que los nombres (fuertemente, débilmente) regulares que se usan aquí no tienen ninguna relación con la noción de regularidad discutida anteriormente (que siempre se asume), es decir, que la dimensión de los espacios sea constante.
Distribuciones generadoras de corchetes
Una distribución se denomina generadora de corchetes (o no holonómico, o se dice que satisface la condición de Hörmander) si tomar un número finito de corchetes de Lie de elementos en es suficiente para generar todo el espacio de campos vectoriales en . Con la notación presentada anteriormente, tal condición se puede escribir como para cierto ; entonces se dice también que es generador de corchetes en pasos, o que tiene profundidad .
Claramente, la bandera de Lie asociada de una distribución generadora de corchetes se estabiliza en el punto . Aunque ser débilmente regular y ser generadora de corchetes son dos propiedades independientes (véanse los ejemplos a continuación), cuando una distribución satisface ambas, el número entero de las dos definiciones es, por supuesto, el mismo.
Gracias al teorema de Chow-Rashevskii, dada una distribución generadora de corchetes en una variedad conexa, dos puntos cualesquiera en pueden estar unidos por un camino tangente a la distribución.[2][3]
Ejemplos de distribuciones regulares
Integrables
- Todo campo vectorial en define una distribución de rango 1 mediante , la cual es integrable: la imagen de cualquier curva integral es una variedad integral.
- La distribución trivial de rango k en , generada por los primeros campos vectoriales coordenados, , es integrable y las variedades integrales vienen dadas por las ecuaciones , para cualesquiera constantes .
- En general, cualquier distribución integrable/involutiva es débilmente regular (con para todo ), pero nunca es generadora de corchetes.
No integrables
- La distribución de Martinet en viene dada por , donde; de manera equivalente, está generada por los campos vectoriales y . Es generadora de corchetes desde , pero no es débilmente regular: tiene rango 3 en todas partes excepto en la superficie .
- La distribución de contacto en viene dada por , donde ; de manera equivalente, es generada por los campos vectoriales y , para. Se trata de una distribución débilmente regular, con vector de crecimiento. También es generadora de corchetes, con . Asimismo, se pueden definir estructuras de contacto abstractas en una variedad como una distribución de hiperplanos que es máximalmente no integrable, es decir, está lo más lejos posible de ser involutiva. Un análogo del teorema de Darboux muestra que dicha estructura tiene el modelo local único descrito anteriormente.
- La distribución de Engel en viene dada por , por y ; de manera equivalente, está generada por los campos vectoriales y . Es débilmente regular, con vector de crecimiento y también es generadora de corchetes. Asimismo, se puede definir una estructura abstracta de Engel en una variedad como una distribución débilmente regular de rango 2 tal que tiene rango 3 y tiene rango 4; Engel demostró que tal estructura tiene el modelo local único descrito anteriormente.[4]
- En general, una estructura de Goursat en una variedad es una distribución de rango 2 que es débilmente regular y generadora de corchetes, con un vector de crecimiento . Para y se recuperan, respectivamente, distribuciones de contacto en variedades tridimensionales y distribuciones de Engel. Las estructuras de Goursat son localmente difeomorfas a la distribución de Cartan de los haces de jets .
Distribuciones singulares
Una distribución singular, distribución generalizada o distribución de Stefan-Sussmann, es una distribución suave que no es regular. Esto significa que los subespacios puede tener diferentes dimensiones, y por lo tanto el subconjunto ya no es un subfibrado suave.
En particular, el número de elementos de una base local que genere cambiará con , y esos campos vectoriales ya no serán linealmente independientes en todas partes. No es difícil ver que la dimensión de es semicontinua inferior, de modo que en esos puntos especiales la dimensión es menor que en puntos cercanos.
Integrabilidad y foliaciones singulares
Las definiciones de variedades integrales y de integrabilidad dadas anteriormente se aplican también al caso singular (eliminando el requisito de la dimensión fija). Sin embargo, el teorema de Frobenius no se cumple en este contexto y, en general, la involutividad no es suficiente para la integrabilidad (existen contraejemplos en dimensiones bajas).
Después de varios resultados parciales,[5] el problema de integrabilidad para distribuciones singulares se resolvió por completo mediante un teorema probado de forma independiente por Stefan[6][7] y Sussmann.[8][9] Este establece que una distribución singular es integrable si y solo si se cumplen las siguientes dos propiedades:
- es generado por una familia de campos vectoriales;
- es invariante con respecto a todo , es decir , donde es el flujo de , e .
De manera similar al caso regular, una distribución singular integrable define una foliación singular, que intuitivamente consiste en una partición de en subvariedades (las variedades integrales maximales de ) de diferentes dimensiones.
La definición de foliación singular se puede precisar de varias formas equivalentes. En realidad, en la literatura hay una plétora de variaciones, reformulaciones y generalizaciones del teorema de Stefan-Sussman, utilizando diferentes nociones de foliaciones singulares según las aplicaciones que se tengan en mente, e.g. Geometría de Poisson[10][11] o geometría no conmutativa.[12][13]
Ejemplos
- Dada una acción de grupo de Lie de un grupo de Lie sobre una variedad , sus generadores infinitesimales abarcan una distribución singular que es siempre integrable; las hojas de la foliación singular asociada son precisamente las órbitas de la acción de grupo. La distribución/foliación es regular si y sólo si la acción es libre.
- Dada una variedad de Poisson , la imagen de es una distribución singular que es siempre integrable; las hojas de la foliación singular asociadas son precisamente las hojas simplécticas de . La distribución/foliación es regular si y solo si la variedad de Poisson es regular.
- De manera más general, la imagen del mapa de ancla de cualquier algebroide de Lie define una distribución singular que es automáticamente integrable, y las hojas de la foliación singular asociada son precisamente las hojas del algebroide de Lie. La distribución/foliación es regular si y sólo si tiene rango constante, es decir, el algebroide de Lie es regular. Considerando, respectivamente, la acción Lie algebroide y el algebroide de Lie cotangente , se recuperan los dos ejemplos anteriores.
- En los sistemas dinámicos, una distribución singular surge del conjunto de campos vectoriales que conmutan con uno dado.
- También hay ejemplos y aplicaciones en teoría de control, donde la distribución generalizada representa restricciones infinitesimales del sistema.
Referencias
- ↑ a b Tanaka, Noboru (1 de enero de 1970). «On differential systems, graded Lie algebras and pseudo-groups». Kyoto Journal of Mathematics 10 (1). ISSN 2156-2261. doi:10.1215/kjm/1250523814.
- ↑ Chow, Wei-Liang (1 de diciembre de 1940). «Über Systeme von liearren partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung». Mathematische Annalen (en alemán) 117 (1): 98-105. ISSN 1432-1807. doi:10.1007/BF01450011.
- ↑ Rashevsky, P. K. (1938). «Any two points of a totally nonholonomic space may be connected by an admissible line.». Uch. Zap. Ped. Inst. Im. Liebknechta, Ser. Phys. Math. (en russian) 2: 83-94.
- ↑ Engel, Friedrich (1889). «Zur Invariantentheorie der Systeme Pfaff'scher Gleichungen». Leipz. Ber. (en alemán) 41: 157-176.
- ↑ Lavau, Sylvain (1 de diciembre de 2018). «A short guide through integration theorems of generalized distributions». Differential Geometry and Its Applications (en inglés) 61: 42-58. ISSN 0926-2245. arXiv:1710.01627. doi:10.1016/j.difgeo.2018.07.005.
- ↑ Stefan, P. (1974). «Accessibility and foliations with singularities». Bulletin of the American Mathematical Society (en inglés) 80 (6): 1142-1145. ISSN 0002-9904. doi:10.1090/S0002-9904-1974-13648-7.
- ↑ Stefan, P. (1974). «Accessible Sets, Orbits, and Foliations with Singularities». Proceedings of the London Mathematical Society (en inglés). s3-29 (4): 699-713. ISSN 1460-244X. doi:10.1112/plms/s3-29.4.699.
- ↑ Sussmann, Hector J. (1973). «Orbits of families of vector fields and integrability of systems with singularities». Bulletin of the American Mathematical Society (en inglés) 79 (1): 197-199. ISSN 0002-9904. doi:10.1090/S0002-9904-1973-13152-0.
- ↑ Sussmann, Héctor J. (1973). «Orbits of families of vector fields and integrability of distributions». Transactions of the American Mathematical Society (en inglés) 180: 171-188. ISSN 0002-9947. doi:10.1090/S0002-9947-1973-0321133-2.
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Libros, apuntes y enlaces externos
- William M. Boothby. Sección IV.8 en Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press, San Diego, California, 2003.
- John M. Lee, Capítulo 19 en Introduction to Smooth Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 2003.
- Richard Montgomery, Capítulos 2, 4 y 6 en A tour of subriemannian geometries, their geodesics and applications. Mathematical Surveys and Monographs 91. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002.
- Álvaro del Pino, Topological aspects in the study of tangent distributions. Textos de Matemática. Série B, 48 . Universidade de Coimbra, 2019.
- "Involutive distributions", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994].
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