Conjunto polar (teoría del potencial)

Véase también: Conjunto polar

En matemáticas, en el área de la teoría del potencial clásico, los conjuntos polares^[1]​ son aquellos "conjuntos insignificantes", similar a la forma en que los conjuntos de medida cero son los conjuntos negligibles en la teoría de la medida.

Definición

Un conjunto ${\displaystyle Z}$ en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (donde ${\displaystyle n\geq 2}$) es un conjunto polar si existe una función superarmónica no constante

${\displaystyle u}$ en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

tal que

${\displaystyle Z\subseteq \{x:u(x)=\infty \}.}$

Téngase en cuenta que existen otras formas (equivalentes) en las que se pueden definir los conjuntos polares, como reemplazando "subarmónico" por "superarmónico" y ${\displaystyle -\infty }$ por ${\displaystyle \infty }$ en la definición anterior.^[1]​

Propiedades

Las propiedades más importantes de los conjuntos polares son:

• Un conjunto unitario establecido en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ es polar.
• Un conjunto contable en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ es polar.
• La unión de una colección contable de conjuntos polares es polar.
• Un conjunto polar tiene medida de Lebesgue cero en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Casi en todas partes

Una propiedad P se cumple casi en todas partes en un conjunto S si se cumple en S−E, donde E es un conjunto polar de Borel. Si P se cumple aproximadamente en todas partes, entonces se cumple casi en todas partes.^[2]​

Véase también

• Conjunto pluripolar

Referencias

1. Joseph L. Doob (2012). Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart. Springer Science & Business Media. pp. 57 de 846. ISBN 9783642565731. Consultado el 27 de noviembre de 2023. 
2. Ransford (1995) p.56

Bibliografía

• Doob, Joseph L. (1984). Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 262. Berlin Heidelberg New York: Springer Science+Business Media. ISBN 3-540-41206-9. Zbl 0549.31001. 
• Helms, L. L. (1975). Introduction to potential theory. R. E. Krieger. ISBN 0-88275-224-3. 
• Ransford, Thomas (1995). Potential theory in the complex plane. London Mathematical Society Student Texts 28. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46654-7. Zbl 0828.31001. 

Enlaces externos

• Polar set en PlanetMath.

• Datos: Q7209102