Coeficiente trinomial

Partiendo de la definición de coeficiente binomial y de su expresión algebraica (véase coeficiente binomial, apartado definición algebraica), se puede extender la idea de coeficientes binomiales a lo que se denominan coeficientes trinomiales, con los cuales se puede desarrollar el teorema del trinomio.^[1]​

Pasos previos

En la fórmula algebraica de los coeficientes binomiales [el coeficiente biniomial ${\displaystyle {n \choose k}}$ está dado por la fórmula ${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$ (véase coeficiente binomial, apartado definición algebraica para obtener la referencia completa)], se obtiene que la suma de los números en el denominador es igual al numerador. Esto se puede expresar como ${\displaystyle n=k+(n-k)}$ ^[1]​

Si se define un ${\displaystyle r_{1}=k}$ y un ${\displaystyle r_{2}=n-k}$ [${\displaystyle r_{1}}$ y ${\displaystyle r_{2}}$ son enteros positivos (${\displaystyle r_{1}}$, ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle \in \mathrm {Z} ^{+}}$)] se obtiene que ${\displaystyle {n \choose k}={n! \choose r_{1}!\cdot r_{2}!}}$, por lo tanto se puede usar la notación ${\displaystyle {n \choose r_{1},r_{2}}}$ para referirse a la misma expresión algebraica (véase coeficiente binomial, apartado definición algebraica).^[1]​

Definición

Si ${\displaystyle r_{1}}$, ${\displaystyle r_{2}}$, ${\displaystyle r_{3}}$ son enteros positivos (${\displaystyle r_{1}}$, ${\displaystyle r_{2}}$, ${\displaystyle r_{3}}$ ${\displaystyle \in \mathrm {Z} ^{+}}$) y ${\displaystyle r_{1}+r_{2}+r_{3}=n}$, entonces el coeficiente trinomial ${\displaystyle {n \choose r_{1},r_{2},r_{3}}}$ queda definido como ${\displaystyle {n \choose r_{1},r_{2},r_{3}}={\frac {n!}{r_{1}!\cdot r_{2}!\cdot r_{3}!}}}$

Como se ha definido anteriormente, si ${\displaystyle r_{1}+r_{2}+r_{3}=n}$, por la propiedad conmutativa de la multiplicación:

${\displaystyle {n \choose r_{1},r_{2},r_{3}}}$ = ${\displaystyle {n \choose r_{1},r_{3},r_{2}}}$ = ${\displaystyle {n \choose r_{2},r_{1},r_{3}}}$ = ${\displaystyle {n \choose r_{2},r_{3},r_{1}}}$ = ${\displaystyle {n \choose r_{3},r_{1},r_{2}}}$ = ${\displaystyle {n \choose r_{3},r_{2},r_{1}}}$

Por lo que se concluye que si ${\displaystyle r_{1}}$, ${\displaystyle r_{2}}$, ${\displaystyle r_{3}}$ son enteros positivos (${\displaystyle r_{1}}$, ${\displaystyle r_{2}}$, ${\displaystyle r_{3}}$ ${\displaystyle \in \mathrm {Z} ^{+}}$) y ${\displaystyle r_{1}+r_{2}+r_{3}=n}$ existen 3! maneras de representar el mismo coeficiente trinomial.^[1]​

Ejemplo

Si se quiere calcular el valor de ${\displaystyle {n \choose r_{1},r_{2},r_{3}}}$, siendo ${\displaystyle n=10}$, ${\displaystyle r_{1}=2}$, ${\displaystyle r_{2}=3}$, ${\displaystyle r_{3}=5}$ ${\displaystyle \Longrightarrow }$${\displaystyle {10 \choose 2,3,5}}$:

Aplicando la definición ${\displaystyle {n \choose r_{1},r_{2},r_{3}}={\frac {n!}{r_{1}!\cdot r_{2}!\cdot r_{3}!}}}$:

${\displaystyle {10 \choose 2,3,5}={\frac {10!}{2!\cdot 3!\cdot 5!}}=2520}$

Como se puede comprobar ${\displaystyle r_{1}}$, ${\displaystyle r_{2}}$, ${\displaystyle r_{3}}$ son enteros positivos (${\displaystyle r_{1}}$, ${\displaystyle r_{2}}$, ${\displaystyle r_{3}}$ ${\displaystyle \in \mathrm {Z} ^{+}}$) y ${\displaystyle r_{1}+r_{2}+r_{3}=n}$

Referencias

1. «Trinomial Coefficients - Mathonline». mathonline.wikidot.com. 

• Datos: Q97171701