En Aritmética modular , una clase de equivalencia potencial es un concepto matemático que se refiere al conjunto de todos los números enteros (
x
{\displaystyle x}
) que satisfacen una ecuación específica (
b
x
mod
n
=
a
{\displaystyle b^{x}{\bmod {n}}=a}
). Este conjunto juega un papel crucial en varios campos de las matemáticas , principalmente en teoría de números y criptografía . La ecuación establece que cualquier número entero (
x
{\displaystyle x}
) que, cuando se utiliza como exponente de la base (
b
{\displaystyle b}
) y se toma el módulo (
n
{\displaystyle n}
), resulta en (
a
{\displaystyle a}
), es parte de esta clase de equivalencia .
Gráfico de la función recursiva
ζ ζ -->
(
x
)
{\displaystyle \zeta (x)}
para la clase de equivalencia potencial
[
4
|
8
]
5
{\displaystyle [4|8]5}
:
ζ ζ -->
(
x
)
=
ζ ζ -->
(
x
+
4
)
⇔ ⇔ -->
x
≠ ≠ -->
∞ ∞ -->
⇒ ⇒ -->
x
{\displaystyle \zeta (x)=\zeta (x+4)\Leftrightarrow x\neq \infty \Rightarrow x}
Las clases de equivalencia potencial son una extensión de las clases de equivalencia , y su relación radica en cómo se definen y utilizan estas relaciones para agrupar números enteros en conjuntos específicos.
Notación
La clase de equivalencia potencial de un elemento
x
{\displaystyle x}
, tal que es el exponente de una base (
b
{\displaystyle b}
) y se le toma el módulo
n
{\displaystyle n}
para que de un residuo específico (
a
{\displaystyle a}
), se denota:
[
a
|
b
]
n
:=
{
x
:
x
∈ ∈ -->
Z
∧ ∧ -->
b
x
mod
n
=
a
}
{\displaystyle [a|b]{n}:=\{{x:x\in \mathbb {Z} \land b^{x}{\bmod {n}}=a}\}}
Por tanto, cada elemento de la clase de equivalencia potencial
[
a
|
b
]
n
{\displaystyle [a|b]n}
, estrictamente deben de cumplir con la condición:
∀ ∀ -->
ψ ψ -->
∈ ∈ -->
[
a
|
b
]
n
→ → -->
b
ψ ψ -->
≡ ≡ -->
a
(
mod
n
)
{\displaystyle \forall \psi \in [a|b]n\rightarrow b^{\psi }\equiv a{\pmod {n}}}
Ejemplos y relaciones
Dada estas dos clases de equivalencia potencial:
[
1
|
2
]
7
=
{
3
,
6
,
9
,
12
,
15
,
18
,
21
,
24...
∞ ∞ -->
}
{\displaystyle [1|2]7=\{3,6,9,12,15,18,21,24...\infty \}}
[
4
|
8
]
5
=
{
2
,
6
,
10
,
14
,
18
,
22
,
26
,
28...
∞ ∞ -->
}
{\displaystyle [4|8]5=\{2,6,10,14,18,22,26,28...\infty \}}
Cada clase de equivalencia potencial se compone por una serie , de manera que la clase
[
1
|
2
]
7
{\displaystyle [1|2]7}
, en una notación en serie equivaldría a:
[
1
|
2
]
7
=
∑ ∑ -->
k
=
0
∞ ∞ -->
k
+
3
{\displaystyle [1|2]7=\sum _{k=0}^{\infty }k+3}
Lo mismo con la clase de equivalencia potencial
[
4
|
8
]
5
{\displaystyle [4|8]5}
:
[
4
|
8
]
5
=
∑ ∑ -->
l
=
2
∞ ∞ -->
l
+
4
{\displaystyle [4|8]5=\sum _{l=2}^{\infty }l+4}
De tal manera, ambas clases de equivalencia potencial pueden representarse como una función recursiva:
[
4
|
8
]
5
=
ζ ζ -->
(
2
)
{\displaystyle [4|8]5=\zeta (2)}
, Siendo la función
ζ ζ -->
(
x
)
{\displaystyle \zeta (x)}
:
ζ ζ -->
(
x
)
=
ζ ζ -->
(
x
+
4
)
⇔ ⇔ -->
x
≠ ≠ -->
∞ ∞ -->
⇒ ⇒ -->
x
{\displaystyle \zeta (x)=\zeta (x+4)\Leftrightarrow x\neq \infty \Rightarrow x}
[
1
|
2
]
7
=
δ δ -->
(
0
)
{\displaystyle [1|2]7=\delta (0)}
, Siendo la función
δ δ -->
(
x
)
{\displaystyle \delta (x)}
:
δ δ -->
(
x
)
=
δ δ -->
(
x
+
3
)
⇔ ⇔ -->
x
≠ ≠ -->
∞ ∞ -->
⇒ ⇒ -->
x
{\displaystyle \delta (x)=\delta (x+3)\Leftrightarrow x\neq \infty \Rightarrow x}
Propiedades naturales
Algunas de las propiedades que tienen las clases de equivalencia potencial , que son denominadas propiedades naturales :
[
a
|
b
]
n
=
N
⇔ ⇔ -->
a
=
0
,
b
≥ ≥ -->
n
∧ ∧ -->
m
c
d
(
b
,
n
)
=
n
{\displaystyle [a|b]n=\mathbb {N} \Leftrightarrow a=0,b\geq n\land mcd(b,n)=n}
2.
[
a
|
b
]
n
=
N
⇔ ⇔ -->
∄ ∄ -->
d
:
2
≤ ≤ -->
d
<
b
,
d
mod
b
=
0
,
n
=
2
⋅ ⋅ -->
b
∧ ∧ -->
a
=
b
{\displaystyle [a|b]n=\mathbb {N} \Leftrightarrow \nexists d:2\leq d<b,d{\bmod {b}}=0,n=2\cdot b\land a=b}
Aplicaciones
Pueden usarse para representar el conjunto de todas las posibles claves privadas que podrían descifrar un mensaje cifrado en un sistema criptográfico basado en exponenciación modular .
Las clases de equivalencia son una herramienta fundamental en la teoría de números . Por tanto, las clases de equivalencia potencial pueden usarse para estudiar las propiedades de las ecuaciones de exponenciación modular y proporcionar una nueva forma de entender las soluciones a estas ecuaciones .
Bibliografía
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/07/ARITMETICA_DE_GAUSS_-_Luis_Joel_Castillo.pdf
Véase también