Circunferencia inscrita y exinscrita en un triángulo

En geometría, la circunferencia inscrita o círculo inscrito de un triángulo es el círculo más grande contenido en el triángulo; toca (es tangente a) los tres lados. El centro de la circunferencia inscrita se llama incentro^[1]​ del triángulo.

Triángulo (negro) con circunferencia inscrita (azul), incentro (I), circunferencia exinscrita (naranja), excentros (J_A,J_B,J_C), bisectrices de los ángulos internos (rojo) y bisectrices de los ángulos exteriores (verde)

Una circunferencia exinscrita o círculo exinscrito^[2]​ del triángulo es un círculo exterior al triángulo, tangente a uno de sus lados y tangente a la extensión de los otros dos lados. Cada triángulo tiene tres circunferencias exinscritas distintas, cada una tangente a uno de los lados del triángulo.^[3]​

El centro de la circunferencia inscrita, llamado incentro, puede ser encontrado en la intersección de las tres bisectrices de los ángulos internos.^[3]​^[4]​ El centro de una circunferencia exinscrita es la intersección de la bisectriz de un ángulo interno (de vértice A, por ejemplo) y las bisectrices de los otros dos ángulos exteriores. El centro de esa circunferencia se llama excentro relativo al vértice A, o excentro de A.^[3]​ Debido a que la bisectriz interior de un ángulo es perpendicular a la bisectriz del ángulo exterior, se deduce que el centro de la circunferencia inscrita junto con los tres excentros forman un Sistema ortocéntrico.^[5]​

No todos los polígonos^[6]​ con más de tres lados tienen circunferencias inscritas tangentes a todos sus lados; estos se llaman polígonos tangenciales. Véanse también las rectas tangentes a la circunferencia.^[7]​

Relación con el área del triángulo

Los radios de las circunferencias inscritas y exinscritas están estrechamente relacionados con el área del triángulo.^[8]​

Circunferencia inscrita

Supongamos que ${\displaystyle \triangle ABC}$ tiene una circunferencia inscrita con radio r y centro I. Sea a la longitud de BC, b la longitud de AC, y c la longitud de AB. Ahora, la circunferencia inscrita es tangente a AB en algún punto C′, y así ${\displaystyle \angle AC'I}$ es recto. Por tanto el radio C'I es la altura del ${\displaystyle \triangle IAB}$. Por lo tanto ${\displaystyle \triangle IAB}$ tiene una base de medida c , una altura de medida r, y así el área es ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr}$. Del mismo modo, ${\displaystyle \triangle IAC}$ tiene área ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br}$ y ${\displaystyle \triangle IBC}$ tiene área ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar}$. Dado que estos tres triángulos componen al ${\displaystyle \triangle ABC}$, vemos que :${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{2}}(a+b+c)r=sr,}$      y      ${\displaystyle r={\frac {\Delta }{s}},}$

Donde ${\displaystyle \Delta }$ es el área de ${\displaystyle \triangle ABC}$ y ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c)}$ es su semi perímetro.

Para una fórmula alternativa, se puede considerar ${\displaystyle \triangle IC'A}$. Este es un triángulo rectángulo con un cateto igual a r y otro cateto igual a ${\displaystyle r\cot {\frac {\angle A}{2}}}$. Lo mismo es cierto para ${\displaystyle \triangle IB'A}$. El triángulo grande se compone por 6 triángulos y el total de su área es:${\displaystyle \Delta =r^{2}\cdot (\cot {\frac {\angle A}{2}}+\cot {\frac {\angle B}{2}}+\cot {\frac {\angle C}{2}})}$

Circunferencia exinscrita

Los radios de las circunferencias exinscritas son llamados exradios. La circunferencia exinscrita al lado AB toca al lado AC extendido en G, y el radio de esta circunferencia exisncrita es ${\displaystyle r_{c}}$ y su centro es ${\displaystyle I_{c}}$. Entonces, ${\displaystyle I_{c}G}$ es la altura de ${\displaystyle \triangle ACI_{c}}$, y así ${\displaystyle \triangle ACI_{c}}$ tiene área ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br_{c}}$. Por un argumento similar, ${\displaystyle \triangle BCI_{c}}$ tiene área ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar_{c}}$ y ${\displaystyle \triangle ABI_{c}}$ tiene área ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr_{c}}$. Por tanto: ${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(s-c)r_{c}}$. Así, por simetría, :${\displaystyle \Delta =sr=(s-a)r_{a}=(s-b)r_{b}=(s-c)r_{c}}$. Por el teorema del coseno, se tiene que: ${\displaystyle \cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}$

Combinando esto con la identidad ${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}A+\cos ^{2}A=1}$, se tiene que: ${\displaystyle \operatorname {sen} A={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}}$

Pero ${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\operatorname {sen} A}$, y así: ${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &={\frac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},\end{aligned}}}$

Esta es la fórmula de Herón.

Combinando esto con ${\displaystyle sr=\Delta }$, se tiene que :${\displaystyle r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{s^{2}}}={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.}$

Del mismo modo, ${\displaystyle (s-a)r_{a}=\Delta }$ da: ${\displaystyle r_{a}^{2}={\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}$ y :${\displaystyle r_{a}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}.}$^[9]​

A partir de estas fórmulas se puede ver que las circunferencias exisncritas son siempre más grandes que las circunferencias inscritas y la circunferencia exinscrita más grande es la que es tangente al lado más largo y la más pequeña es la tangente al lado más corto. Es más, combinando estas fórmulas:^[10]​${\displaystyle \Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.}$

La relación del área de la circunferencia inscrita al área del triángulo es menor o igual a ${\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$, con la igualdad solo para el triángulo equilátero.^[11]​

Construcciones relacionadas

Circunferencia de los nueve puntos y el punto de Feuerbach

La circunferencia tangente a las tres circunferencias exinscritas y a la circunferencia inscrita es conocido como circunferencia de los nueve puntos. El punto donde el círculo de nueve puntos toca la circunferencia inscrita es conocido como el punto de Feuerbach.

Triángulo y punto de Gergonne

Triángulo ΔABC, con circunferencia inscrita (azul), incentro (azul, I), triángulo de contacto (rojo, ΔT_aT_bT_c) y punto Gergonne (verde, Ge)

El triángulo de Gergonne (de ABC) está definido por los 3 puntos de contacto de la circunferencia inscrita con los 3 lados.

El punto de contacto opuesto al vértice A se denota T_A, etc.

Este triángulo de Gergonne T_AT_BT_C también se conoce como triángulo de contacto o triángulo en contacto con ABC. Así mismo, es el triángulo podal respecto a ABC generado desde su propio incentro.

Los tres segmentos AT_A, BT_B y CT_C se intersecan en un solo punto llamado punto de Gergonne, anotado como Ge - X(7). El punto de Gergonne se encuentra en el interior del círculo ortocentroidal, y puede ser cualquiera de sus puntos.^[12]​

Curiosamente, el punto de Gergonne del triángulo es el punto simediano del triángulo de Gergonne. Para un conjunto completo de propiedades del punto de Gergonne, véase.^[13]​

Las coordenadas trilineales para los vértices donde el triángulo está en contacto vienen dadas por:

• ${\displaystyle {\text{vértice}}\,A=0:\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$
• ${\displaystyle {\text{vértice}}\,B=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$
• ${\displaystyle {\text{vértice}}\,C=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0}$

Las coordenadas trilineales para el punto de Gergonne están dadas por:

${\displaystyle \sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$, o, equivalentemente, por el Teorema del seno,

${\displaystyle {\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}}$.

Triángulo y punto de Nagel

El triángulo de Nagel de ABC es notado por los vértices X_A, X_B y X_C que son los tres puntos donde cada circunferencia exinscrita toca al triángulo de referencia ABC y donde X_A es el opuesto al vértice A, etc. Este triángulo X_AX_BX_C se conoce como el triángulo explícito de ABC. La circunferencia circunscrita del triángulo explícito X_AX_BX_C es llamada círculo de Mandart. Los tres segmentos AX_A, BX_B y CX_C se denominan divisores del triángulo; cada uno de ellos biseca el perímetro del triángulo, y los tres se intersecan en un solo punto, el Punto de Nagel del triánguloNa - X(8).

Las coordenadas trilineales de los vértices del triángulo explícito están dadas por:

• ${\displaystyle {\text{vértice}}\,A=0:\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$
• ${\displaystyle {\text{vértice}}\,B=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$
• ${\displaystyle {\text{vértice}}\,C=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0}$

Las coordenadas trilineales del punto de Nagel están dadas por:

${\displaystyle \csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$,

o, equivalentemente a, según el teorema del seno,

${\displaystyle {\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}}$.

Esto es el conjugado isotómico del punto de Gergonne.

Referencias

1. Kay (1969, p. 140)
2. Altshiller-Court (1952, p. 74)
3. Altshiller-Court (1952, p. 73)
4. Kay (1969, p. 117)
5. Johnson, Roger (2007). Advanced Euclidean Geometry. Dover.  |fechaacceso= requiere |url= (ayuda)
6. «Polígonos». Plan Ceibal. Archivado desde el original el 19 de septiembre de 2015. Consultado el 21 de septiembre de 2015. 
7. «Rectas tangentes a una circunferencia pasando por un punto exterior». Consultado el 28 de septiembre de 2015. 
8. Coxeter, H.S.M. "Introduccion to Geometry 2nd ed. Wiley, 1961.
9. Altshiller-Court (1952, p. 79)
10. Baker, Marcus, "Una colección de fórmulas para el área de un triángulo plano," Annals of Mathematics, part 1 in vol. 1(6), January 1885, 134-138. (See also part 2 in vol. 2(1), September 1885, 11-18.)
11. Minda, D., and Phelps, S., "Triangles, ellipses, and cubic polynomials", American Mathematical Monthly 115, October 2008, 679-689: Theorem 4.1.
12. Christopher J. Bradley and Geoff C. Smith, "The locations of triangle centers", Forum Geometricorum 6 (2006), 57--70. http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html
13. Dekov, Deko (2009). «Computer-generated Mathematics : The Gergonne Point». Journal of Computer-generated Euclidean Geometry 1: 1-14. Archivado desde el original el 5 de noviembre de 2010. 

• Datos: Q10615255
• Multimedia: Incircle and excircles / Q10615255