Anillo booleano

En álgebra abstracta, en particular en teoría de anillos, un anillo booleano es aquel anillo R en donde ${\displaystyle a^{2}=a}$ para todo elemento de R.

Expresado de otra forma, es un anillo en el que todos los términos son idempotentes.

Conmmutatividad de los anillos booleanos

Los anillos booleanos necesariamente son anillos conmutativos. A continuación se presenta una prueba correcta de la conmutatividad.

Los anillos booleanos son conmutativos

Sean a y b dos elementos arbitrarios del anillo booleano R. Primero observamos que necesariamente todo elemento es su propio inverso aditivo: ${\displaystyle (a+a)=(a+a)^{2}=(a+a)(a+a)=a^{2}+a^{2}+a^{2}+a^{2}=a+a+a+a}$ de donde una cancelación muestra que ${\displaystyle 0=a+a}$ y por tanto ${\displaystyle a=-a}$. Dado que ${\displaystyle (a+b)=(a+b)^{2}}$, desarrollando el producto del lado derecho obtenemos: ${\displaystyle a+b=a^{2}+ab+ba+b^{2}=a+ab+ba+b}$ de donde se obtiene que ${\displaystyle 0=ab+ba}$ y por tanto ${\displaystyle ab=-ba}$, de donde ya es inmediato que ${\displaystyle ab=ba}$, estableciéndose así la conmutatividad del anillo.

Equivalencia entre anillos booleanos y álgebras booleanas

Todo anillo booleano ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ con elemento unitario 1 satisface los axiomas de un álgebra booleana ${\displaystyle (R,\wedge ,\vee ,\neg )}$ si se define la disyunción como:

${\displaystyle a\vee b:=a+b+ab}$,

la conjunción como:

${\displaystyle a\wedge b:=ab}$

y la negación como:

${\displaystyle \neg a:=a+1}$.

De manera inversa, toda álgebra booleana se puede convertir en un anillo conmutativo definiendo las operaciones de suma y producto como:

${\displaystyle p+q:=(p\wedge \neg q)\vee (\neg p\vee q)}$

${\displaystyle pq:=p\wedge q}$

Referencias

• Steven Givant; Paul Halmos (2009). Introduction to Boolean Algebras. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 9780387684369. 

Véase también

• Álgebra booleana

• Datos: Q2634401