Universala envelopa alĝebro

En algebro, la universala envelopa alĝebro (mallonge UEA) de alĝebro de Lie estas asocia alĝebro, enhavanta kopion de la alĝebro de Lie, kies komutilo koincidas kun la krampo de la alĝebro de Lie.

Difino

Se ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[-,-])}$ estas alĝebro de Lie super kampo ${\displaystyle K}$, tiam oni povas difini la tensoran alĝebron

${\displaystyle \operatorname {T} ({\mathfrak {g}})=K\oplus {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}\otimes _{K}{\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}\otimes _{K}{\mathfrak {g}}\otimes _{K}{\mathfrak {g}}\oplus \dotsb }$.

Difinu la jenan subaron de la tensora alĝebro:

${\displaystyle S=\{x\otimes y-[x,y]\colon x,y\in {\mathfrak {g}}\}}$.

Tiu subaro generas ambaŭflankan idealon

${\displaystyle {\mathfrak {I}}=(S)\subseteq T({\mathfrak {g}})}$

de la alĝebro ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$. La universala envelopa alĝebro de la alĝebro de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ estas la kvocienta alĝebro

${\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})={\frac {\operatorname {T} ({\mathfrak {g}})}{\mathfrak {I}}}}$.

Ecoj

Ĉiu prezento de alĝebro de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$ difinas modulon ${\displaystyle V}$ de la universala envelopa alĝebro de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$; fakte, tiuj du konceptoj estas ekvivalentaj.

Eksteraj ligiloj

• Universal enveloping algebra (angle). nLab.