Rimana sfero

La kompleksa ebeno povas esti etendita per unu plia nombro ${\displaystyle \infty }$. La modelo de la etendita kompleksa ebeno estas la 2-dimensia sfero, kaj oni nomas tiun modelon la Rimana sfero. Ĉi tiun modelon oni ofte traktas kiel 1-dimensia kompleksa sternaĵo. Ofte oni ne distingas inter Rimana sfero aŭ etendita kompleksa ebeno (aŭ etenditaj kompleksaj nombroj).

Etenditaj kompleksaj nombroj

La aro de etenditaj kompleksaj nombroj estas ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$. Oni ankaŭ skribas ĝin ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}}$ aŭ ${\displaystyle {\mathbb {C} }_{\infty }}$. Oni difinas algebrajn operaciojn per ${\displaystyle z+\infty =\infty }$ por ĉiu ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$, ${\displaystyle {\frac {z}{0}}=\infty }$, ${\displaystyle {\frac {\infty }{z}}=\infty }$, ${\displaystyle z\times \infty =\infty }$ por ĉiu ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$, kaj ${\displaystyle \infty \times \infty =\infty }$, sed aliaj operacioj devas resti nedifinitaj. Tamen, la aro tiam ne plu estas kampo.

Rimana sfero

Kiam oni aldonas topologion de 2-dimensia sfero al la kompleksaj nombroj ĉi tiu aro fariĝas topologia sternaĵo. Fakte, ĝi fariĝas 1-dimensia kompleksa sternaĵo uzante du koordinatarojn. Unue ni povas uzi ${\displaystyle z}$, kaj due ni povas uzi ${\displaystyle w={\frac {1}{z}}}$. Ofte oni skribas ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ aŭ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ por la Rimana sfero, ĉar ĝi ankaŭ estas la 1-dimensia kompleksa projekcia spaco.

Vidu ankaŭ

• Kompleksa nombro
• Sfero