'Supozu ke vi marŝas preter tondista butiko iutage, kaj vidas ŝildon, kiu diras: "Ĉu vi tondas vin mem? Se ne, bonvolu eniri kaj mi tondos vin! Mi tondas iun ajn, kiu ne tondas sin mem, kaj neniun alian". Do la demando estas: "Kiu tondas la tondiston?"' —la paradokso de la tondisto
Matematika problemo estas problemo, kiun oni povas reprezenti, analizi, kaj eble solvi, kun la metodoj de matematiko. Ĉi tiu povas esti realmonda problemo, kiel komputado de la orbitojn de la planedoj en la Sunsistemo, aŭ problemo de pli abstrakta naturo, kiel la problemoj de Hilbert.
Neforma "realmondaj" matematikaj problemoj estas demandoj, kiu rilatas al konkreta okazaĵo, kiel: "Adamo havas kvin pomojn kaj donas al Johano tri. Kiom restas kun li?" Tiaj demandoj kutime estas pli malfacilaj solvi ol regulaj matematikaj ekzercoj, kiel "5 - 3", eĉ se oni scius la matematikon bezonan por solvi la problemon. Konata kiel vortaj problemoj, oni uzas ilin en matematikeduko por instrui studentojn kunligi realmondajn situaciojn al la abstrakta lingvo de matematiko.
Ĝenerale, por uzi matematikon solvi realmondan problemon, la unua paŝo estas konstrui matematikan modelon de la problemo. Ĉi tio inkludas abstrakton de la detaloj de la problemo, kaj la modelanto zorgu ne perdi esencajn aspektojn tradukante la originan problemon al matematika. Post ol la problemo estas solvita en la mondo de matematiko, la solvo estu tradukita reen al la kunteksto de la origina problemo.
Abstraktaj problemoj
Abstraktaj matematikaj problemoj ekestas en ĉiuj kampoj de matematiko. Kvankam matematikistoj kutime studas ilin por si mem, tion farante oni povas trovi rezultojn, kiu trovos aplikon ekster la regno de matematiko. Teoria fiziko historie estis, kaj restas, riĉan fonton de inspiro.
Kelkaj abstraktaj problemoj rigore pruviĝis nesolvebla, kiel kvadraturo de la cirklo kaj trisekcio de la angulo uzante nur la cirkelajn kaj liniilajn konstruadojn de klasika geometrio, kaj solvado de la ĝenerala kvina ekvacio algebre. Ankaŭ pruveble nesolvebla estas tiel nomataj nedecideblaj problemoj, kiel la problemo de halto por maŝinoj de Turing.
Multaj abstraktaj problemoj povas esti solvitaj rutine, aliaj estas solvitaj kun ega klopodo, por iuj, multsignifaj komencoj estas farita sed ankoraŭ sen vojo al plena solvo, kaj aliaj plu ankoraŭ kontraŭstaras ĉiujn provojn, kiel la konjekto de Goldbach kaj la konjekto de Collatz. Kelkaj konataj malfacilaj problemoj, kiuj estas solvita relative lastatempe estas la kvarkolormapa teoremo, la lasta teoremo de Fermat, kaj la konjekto de Poincaré.
Degradado
Matematikaj edukistoj, kiu uzas problemsolvado por takso havas problemon, kiun esprimas Alan H. Schoenfield:
Kiel povas oni kompari poentaroj de testoj de jaro al jaro, kvankam tre malsimilajn problemojn oni uzas? (Se similajn problemojn oni uzas por jaro post jaro, instruistoj kaj studentoj lernos, kio ili estas, studentoj praktikos ilin: problemoj fariĝos ekzercoj, kaj la testo neniam plu taksos problemsolvadon.)[1]
La saman problemon alfrontis Sylvestre Lacroix preskaŭ du jarcentoj antaŭe:
... estas necese varii la demandojn, kiun studentoj eble komunikus reciproke.[2]
Kia degradado de problemoj al ekzercoj estas karakteriza de matematiko en historio. Ekzemple, priskribante la preparadoj por la Kembriĝa Matematika Tripos en la 19-a jarcento, skribis Andrew Warwick:
... multaj familiaj de la tiama standarda problemoj origine ŝarĝis la kapablojn de la plej grandaj matematikistoj de la 18-a jarcento.[3]
