Kaŭstiko (matematiko)

Spegula kaŭstiko generita de cirklo kaj paralelaj radioj

En diferenciala geometrio, kaŭstiko estas la koverto de radioj reflektitaj aŭ refraktitaj per sternaĵo. Ĝi estas simila al la optika koncepto de kaŭstiko.

La radia fonto povas esti punkto (elradianta punkto) aŭ malfinio, en la lasta okazo la direkta vektoro devas esti donita.

Reflekta kaŭstiko

Reflekta kaŭstiko estas okazo ĉe kiu la radioj estas reflektataj de la kurbo.

En okazo de elradianta punkto, ĝi estas la evoluto de la aro de reflektoj je tanĝantoj de la elradianta punkto.

En okazo de paralelaj radioj: supozi la direkta vektoro estas (a, b) kaj la spegula kurbo estas parametrigita kiel (u(t), v(t)). La normala vektoro je punkto estas (-v'(t), u'(t)); la reflekto de la direkta vektoro estas (normala vektoro bezonas specialan normaligon al longo 1)

${\displaystyle 2{\mbox{proj}}_{n}d-d={\frac {2n}{\sqrt {n\cdot n}}}{\frac {n\cdot d}{\sqrt {n\cdot n}}}-d=2n{\frac {n\cdot d}{n\cdot n}}-d={\frac {(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2},bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})}{v'^{2}+u'^{2}}}}$

Havante komponantojn de trovita reflektita vektoro traktu ĝin kiel tanĝanto

${\displaystyle (x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})=(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})}$

Uzante la plej simplan kovertan formon

${\displaystyle F(x,y,t)=(x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})}$ ${\displaystyle =x(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-y(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})+b(uv'^{2}-uu'^{2}-2vu'v')+a(-vu'^{2}+vv'^{2}+2uu'v')}$

${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=2x(bu'u''-a(u'v''+u''v')-bv'v'')-2y(av'v''-b(u''v'+u'v'')-au'u'')+b(u'v'^{2}+2uv'v''-u'^{3}-2uu'u''-2u'v'^{2}-2u''vv'-2u'vv'')+a(-v'u'^{2}-2vu'u''+v'^{3}+2vv'v''+2v'u'^{2}+2v''uu'+2v'uu'')}$

kiu povas esti komplika, sed meto de ${\displaystyle F=F_{t}=0}$ donas sistemon de linearaj ekvacioj por x kaj y kaj tiel per solvo de ĝi eblas ricevi parametrigon de la reflekta kaŭstiko, formuloj de Kramero povas esti uzataj.

Ekzemplo

Estu la direkta vektoro (0, 1) kaj la spegula kurbo ${\displaystyle (t,t^{2})}$ Tiam

${\displaystyle u'=1}$ ${\displaystyle u''=0}$ ${\displaystyle v'=2t}$ ${\displaystyle v''=2}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle b=1}$

${\displaystyle F(x,y,t)=(x-t)(1-4t^{2})+4t(y-t^{2})=x(1-4t^{2})+4ty-t}$

${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=-8tx+4y-1}$

kaj ${\displaystyle F=F_{t}=0}$ havas solvaĵon (0, 1/4), kio estas ke lumo eneniranta parabolan spegulon paralele al ĝia akso estas reflektita tra fokuso de la parabolo.

Refrakta kaŭstiko

Refrakta kaŭstiko estas pli komplika okazo pro tio ke bezonatas datumoj pri la refrakta indico kaj pro tio ke refrakto estas ne lineara, la leĝo de Snell estas sufiĉe "malbela" en pura vektora skribmaniero (se ne la refrakta indico varias glate en spaco).

Eksteraj ligiloj

• Kaŭstiko je MathWorld