En matematiko , la delto de Kronecker estas funkcio de du variabloj , kutime entjeroj , kiu estas 1 se ili estas egalaj kaj 0 alie. Ĝi estas skribita per litero δ kiel δij de argumentoj i kaj j .
δ δ -->
i
j
=
{
1
,
i
=
j
0
,
i
≠ ≠ -->
j
{\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{cases}}}
Tiel ekzemple
δ δ -->
12
=
0
{\displaystyle \delta _{12}=0}
, kaj
δ δ -->
44
=
1
{\displaystyle \delta _{44}=1}
.
Alia skribmaniero estas
[
i
=
j
]
=
{
1
,
i
=
j
0
,
i
≠ ≠ -->
j
{\displaystyle [i=j]={\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{cases}}}
Unu-variabla skribmaniero
δ δ -->
i
{\displaystyle \delta _{i}}
estas uzata kiel:
δ δ -->
i
=
{
1
,
i
=
0
0
,
i
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle \delta _{i}={\begin{cases}1,&i=0\\0,&i\neq 0\end{cases}}}
Impulsa funkcio
Simile, en cifereca signala prilaborado , la sama nocio estas prezentata kiel funkcio sur entjeroj :
δ δ -->
[
n
]
=
{
1
,
n
=
0
0
,
n
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}}
La funkcio estas nomata kiel impulso aŭ impulsa funkcio aŭ unuimpulso . Kaj kiam ĝi estas donata en enenigon de iu sistemo, la eligo estas la impulsa respondo .
En lineara algebro , la identa matrico povas esti skribita kiel
δ δ -->
i
j
{\displaystyle \delta _{ij}}
. En lineara algebro , delto de Kronecker povas esti uzata ankaŭ kiel tensoro kaj estas tiam skribata kiel
δ δ -->
j
i
{\displaystyle \delta _{j}^{i}}
.
Propraĵoj
La delto de Kronecker plenumas la jenan ekvacion:
∑ ∑ -->
i
=
− − -->
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
δ δ -->
i
j
a
i
=
a
j
{\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }\delta _{ij}a_{i}=a_{j}}
Ĉi tiu propraĵo estas simila al tiu de la diraka delta funkcio :
∫ ∫ -->
− − -->
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
δ δ -->
(
x
− − -->
y
)
f
(
x
)
d
x
=
f
(
y
)
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)f(x)dx=f(y)}
kaj fakte la diraka delto estis nomita post kiam la delto de Kronecker.
Ĝeneraligo
Sammaniere oni povas difini analogan funkcion de pluraj variabloj, la ĝeneraligitan delton de Kronecker :
δ δ -->
i
1
i
2
… … -->
i
n
j
1
j
2
… … -->
j
n
=
∏ ∏ -->
k
=
1
n
δ δ -->
i
k
j
k
{\displaystyle \delta _{i_{1}i_{2}\dotso i_{n}}^{j_{1}j_{2}\dotso j_{n}}=\prod _{k=1}^{n}\delta _{i_{k}j_{k}}}
La valoro de ĉi tiu funkcio estas aŭ +1, aŭ −1, aŭ 0.
Se la supraj indicoj (
j
1
j
2
… … -->
j
n
{\displaystyle j_{1}j_{2}\dotso j_{n}}
) estas para permuto de (konsistas el para nombro de interŝanĝoj de apudaj paroj en)
i
1
i
2
… … -->
i
n
{\displaystyle i_{1}i_{2}\dotso i_{n}}
, la valoro estas +1.
Se la supraj indicoj (
j
1
j
2
… … -->
j
n
{\displaystyle j_{1}j_{2}\dotso j_{n}}
) estas nepara permuto de (konsistas el nepara nombro de interŝanĝoj de apudaj paroj en)
i
1
i
2
… … -->
i
n
{\displaystyle i_{1}i_{2}\dotso i_{n}}
, la valoro estas −1.
Se la supraj indicoj (
j
1
j
2
… … -->
j
n
{\displaystyle j_{1}j_{2}\dotso j_{n}}
) ne estas permuto de
i
1
i
2
… … -->
i
n
{\displaystyle i_{1}i_{2}\dotso i_{n}}
, la valoro estas 0.
Historio
La delton de Kronecker inventis la germana matematikisto Leopold Kronecker (1823 –1891 ).
Vidu ankaŭ