Brauer's height zero conjecture

The Brauer Height Zero Conjecture is a conjecture in modular representation theory of finite groups relating the degrees of the complex irreducible characters in a Brauer block and the structure of its defect groups. It was formulated by Richard Brauer in 1955.

Statement

Let be a finite group and a prime. The set of irreducible complex characters can be partitioned into Brauer -blocks. To each -block is canonically associated a conjugacy class of -subgroups, called the defect groups of . The set of irreducible characters belonging to is denoted by .

Let be the discrete valuation defined on the integers by where is coprime to . Brauer proved that if is a block with defect group then for each . Brauer's Height Zero Conjecture asserts that for all if and only if is abelian.

History

Brauer's Height Zero Conjecture was formulated by Richard Brauer in 1955.[1] It also appeared as Problem 23 in Brauer's list of problems.[2] Brauer's Problem 12 of the same list asks whether the character table of a finite group determines if its Sylow -subgroups are abelian. Solving Brauer's height zero conjecture for blocks whose defect groups are Sylow -subgroups (or equivalently, that contain a character of degree coprime to ) also gives a solution to Brauer's Problem 12.

Proof

The proof of the if direction of the conjecture was completed by Radha Kessar and Gunter Malle[3] in 2013 after a reduction to finite simple groups by Thomas R. Berger and Reinhard Knörr.[4]

The only if direction was proved for -solvable groups by David Gluck and Thomas R. Wolf.[5] The so called generalized Gluck—Wolf theorem, which was a main obstacle towards a proof of the Height Zero Conjecture was proven by Gabriel Navarro and Pham Huu Tiep in 2013.[6] Gabriel Navarro and Britta Späth showed that the so-called inductive Alperin—McKay condition for simple groups implied Brauer's Height Zero Conjecture.[7] Lucas Ruhstorfer completed the proof of these conditions for the case .[8] The case of odd primes was finally settled by Gunter Malle, Gabriel Navarro, A. A. Schaeffer Fry and Pham Huu Tiep using a different reduction theorem.[9]

References

  1. ^ Brauer, Richard D. (1956). "Number theoretical investigations on groups of finite order". Proceedings of the International Symposium on Algebraic Number Theory, Tokyo and Nikko, 1955. Science Council of Japan. pp. 55–62.
  2. ^ Brauer, Richard D. (1963). "Representations of finite groups". Lectures in Mathematics. Vol. 1. Wiley. pp. 133–175.
  3. ^ Kessar, Radha; Malle, Gunter (2013). "Quasi-isolated blocks and Brauer's height zero conjecture". Annals of Mathematics. 178: 321–384. arXiv:1112.2642. doi:10.4007/annals.2013.178.1.6.
  4. ^ Berger, Thomas R.; Knörr, Reinhard (1988). "On Brauer's height 0 conjecture". Nagoya Mathematical Journal. 109: 109–116. doi:10.1017/S0027763000002798.
  5. ^ Gluck, David; Wolf, Thomas R. (1984). "Brauer's height conjecture for p-solvable groups". Transactions of the American Mathematical Society. 282: 137–152. doi:10.2307/1999582.
  6. ^ Navarro, Gabriel; Tiep, Pham Huu (2013). "Characters of relative -degree over normal subgroups". Annals of Mathematics. 178: 1135–1171. doi:10.4007/annals.2013.178.
  7. ^ Navarro, Gabriel; Späth, Britta (2014). "On Brauer's height zero conjecture". Journal of the European Mathematical Society. 16: 695–747. arXiv:2209.04736. doi:10.4171/JEMS/444.
  8. ^ Ruhstorfer, Lucas (2022). "The Alperin-McKay conjecture for the prime 2". to appear in Annals of Mathematics.
  9. ^ Malle, Gunter; Navarro, Gabriel; Schaeffer Fry, A. A.; Tiep, Pham Huu (2024). "Brauer's Height Zero Conjecture". Annals of Mathematics. 200: 557–608. arXiv:2209.04736. doi:10.4007/annals.2024.200.2.4.

Read other articles:

?Астрофори Xestospongia testudinaria Біологічна класифікація Домен: Ядерні (Eukaryota) Царство: Тварини (Animalia) Підцарство: Первинні багатоклітинні (Prometazoa) Тип: Губки (Porifera) Клас: Demospongiae(Sollas, 1885) Ряд: AstrophoridaSollas, 1888 Родини Ancorinidae Schmidt, 1870 Calthropellidae Lendenfeld, 1907 Geodiidae Gray, 1867 Pachastrellidae Carter, 1875 Theneidae Carter, 1883 ...

 

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (ديسمبر 2020) بنجامين برينغل   معلومات شخصية تاريخ الميلاد 9 نوفمبر 1807  تاريخ الوفاة 7 يونيو 1887 (79 سنة)   مواطنة الولايات المتحدة  مناصب الحياة العملية المهنة سيا...

 

منطقة وصاية لوماجانغ  شعار   الإحداثيات 8°08′00″S 113°13′00″E / 8.13333333°S 113.21666667°E / -8.13333333; 113.21666667  تقسيم إداري  البلد إندونيسيا[2][1]  التقسيم الأعلى جاوة الشرقية[2]  خصائص جغرافية  المساحة 1790.90 كيلومتر مربع  ارتفاع 153 متر  عدد السكان ...

Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen (beispielsweise Einzelnachweisen) ausgestattet. Angaben ohne ausreichenden Beleg könnten demnächst entfernt werden. Bitte hilf Wikipedia, indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfügst. Diese Seite hat keinerlei Einzelnachweise, lediglich allgemeine Weblinks. Auch die Handlung ist nicht vollständig wiedergegeben. --Duerer38 (Diskussion) 06:56, 20. Aug. 2017 (CEST) Musicaldaten Originaltitel: Hairspra...

 

Повна гетерохромія людських очей Повна гетерохромія в кота Гетерохромі́я (лат. heterochromia від грец. έτερος — «інший», «різний», χρῶμα — «колір») — різний колір райдужної оболонки правого і лівого ока або неоднакова забарвлення різних ділянок райдужної оболонки од...

 

Anyang-anyang Elaeocarpus grandiflorus TaksonomiDivisiTracheophytaSubdivisiSpermatophytesKladAngiospermaeKladmesangiospermsKladeudicotsKladcore eudicotsKladSuperrosidaeKladrosidsKladfabidsOrdoOxalidalesFamiliElaeocarpaceaeGenusElaeocarpusSpesiesElaeocarpus grandiflorus Sm., 1809 lbsAnyang-anyang (Elaeocarpus grandiflorus) adalah tumbuhan yang tumbuh pada ketinggian mencapai 25 m meter. Pada umumnya, tumbuhan ini menjadi tanaman hias dan dapat bertahan dalam kondisi kering dan rendah nutrisi. ...

Gibraltarian politician The HonourableFabian PicardoKC MPPicardo in 2017Chief Minister of GibraltarIncumbentAssumed office 9 December 2011MonarchsElizabeth IICharles IIIGovernor Sir Adrian Johns Sir James Dutton Edward Davis Sir David Steel Preceded bySir Peter CaruanaLeader of the OppositionIn office20 April 2011 – 9 December 2011MonarchElizabeth IIGovernorSir Adrian JohnsPreceded bySir Joe BossanoSucceeded bySir Peter Caruana Personal detailsBorn (1972-02-18) 18 February 1972...

 

Verbs that can't complete a clause (such as going or to live) This article may need to be rewritten to comply with Wikipedia's quality standards, as misuse of bold and italics per MOS:BOLD, MOS:ITALIC. You can help. The talk page may contain suggestions. (May 2023) A nonfinite verb, in contrast to a finite verb, is a derivative form of a verb that lacks inflection (conjugation) for number or person. In the English language, the nonfinite verb cannot perform action as the main verb of an indep...

 

Artikel ini perlu diwikifikasi agar memenuhi standar kualitas Wikipedia. Anda dapat memberikan bantuan berupa penambahan pranala dalam, atau dengan merapikan tata letak dari artikel ini. Untuk keterangan lebih lanjut, klik [tampil] di bagian kanan. Mengganti markah HTML dengan markah wiki bila dimungkinkan. Tambahkan pranala wiki. Bila dirasa perlu, buatlah pautan ke artikel wiki lainnya dengan cara menambahkan [[ dan ]] pada kata yang bersangkutan (lihat WP:LINK untuk keterangan lebih lanjut...

Nicolò Barella Barella bersama Italia pada 2021Informasi pribadiNama lengkap Nicolò BarellaTanggal lahir 7 Februari 1997 (umur 26)Tempat lahir Cagliari, ItaliaTinggi 172 cm (5 ft 8 in)Posisi bermain GelandangInformasi klubKlub saat ini Inter MilanNomor 8Karier junior2006–2015 CagliariKarier senior*Tahun Tim Tampil (Gol)2015–2020 Cagliari 105 (7)2016 → Como (pinjaman) 16 (0)2019–2020 → Inter Milan (pinjaman) 27 (1)2020– Inter Milan 185 (20)Tim nasional‡2012 ...

 

3-тя окрема гвардійська бригада спеціального призначення рос. 3-я отдельная гвардейская Варшавско-Берлинская Краснознаменная ордена Суворова бригада специального назначения ГРУНа службі 1966 — 1992Країна  Радянський Союз → РосіяНалежність ГРУ ГШ ЗС СРСРВид Радян...

 

Daniel Gygax Informasi pribadiNama lengkap Daniel GygaxTanggal lahir 28 Agustus 1981 (umur 42)Tempat lahir Zürich, SwitzerlandTinggi 1,79 m (5 ft 10+1⁄2 in)Posisi bermain WingerSecond strikerInformasi klubKlub saat ini FC LuzernNomor 11Karier junior FC BadenKarier senior*Tahun Tim Tampil (Gol)1998–2001 FC Zürich 5 (0)2001 FC Winterthur 14 (1)2001–2002 FC Aarau 21 (3)2002–2005 FC Zürich 93 (16)2005–2006 Lille 24 (4)2007–2008 Metz 34 (5)2008–2010 1. FC N...

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Debipur Milan Vidyapith – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (October 2018) (Learn how and when to remove this template message) Boys & girls schoolDebipur Milan VidyapithLocationInformationSchool typeBoys & Girls Co-EducationalEstablished12th ...

 

Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu-waktu.Cari sumber: Presiden Republik Chechnya – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR Presiden Republik Chechnya, umumnya dikenal sebagai Presiden Chechnya, adalah jabatan tertinggi dalam Pemerintah Chechnya. J...

 

Fedora запущена в VirtualBox Віртуальна машина — модель обчислювальної машини, створеної шляхом віртуалізації обчислювальних ресурсів: процесора, оперативної пам'яті, пристроїв зберігання та вводу і виводу інформації. Віртуальна машина, на відміну від програми емуляції кон...

КоммунаЛе-ДуэLe Douhet 45°49′00″ с. ш. 0°34′00″ з. д.HGЯO Страна  Франция Регион Пуату — Шаранта Департамент Приморская Шаранта Кантон Сент-Север История и география Площадь 18,35 км²[1] Часовой пояс UTC+1:00, летом UTC+2:00 Население Население 707 человек (2010) Цифровые и...

 

  关于2010年原名The Whistleblower的電影,请见「告密者 (2010年電影)」。 告密者Kill the Messenger電影海報基本资料导演麥可·奎斯塔监制傑瑞米·雷納娜奧米·德普雷帕梅拉·阿布迪史考特·史都貝爾(英语:Scott Stuber)编剧彼得·蘭德斯曼(英语:Peter Landesman)原著《告密者(英语:Kill the Messenger (Schou book))》蓋瑞·韋伯(英语:Gary Webb)和尼克·休烏作品主演傑瑞米·雷納...

 

Human settlement in EnglandThurloxtonSt Giles churchBuildings in ThurloxtonThurloxtonLocation within SomersetPopulation153 (2011)[1]OS grid referenceST275305Unitary authoritySomerset CouncilCeremonial countySomersetRegionSouth WestCountryEnglandSovereign stateUnited KingdomPost townTauntonPostcode districtTA2Dialling code01823PoliceAvon and SomersetFireDevon and SomersetAmbulanceSouth Western UK ParliamentBridgwater and West Somerset List o...

成虫(せいちゅう)とは、昆虫において十分に成長をし、これ以上の成長や変態をおこさない最終形態である。昆虫に類似した他の動物(蜘蛛類や多足類などの節足動物)に対しても使用する場合がある。より生物一般の用語としては、成体という。 一般的特徴 一般に認識されている昆虫の形態は、この成虫のものである。昆虫の分類は、基本的には成虫で行われる。...

 

Genus of butterflies Branded swifts Pelopidas sp. Scientific classification Domain: Eukaryota Kingdom: Animalia Phylum: Arthropoda Class: Insecta Order: Lepidoptera Family: Hesperiidae Tribe: Baorini Genus: PelopidasWalker, 1870[1] Synonyms Chapra Moore, 1881[1] Pelopidas is a genus of skipper butterflies. They are commonly known as branded swifts or millet skippers. Polytremis kiraizana is sometimes placed here too. The genus was described by Francis Walker in 1870.[1]...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!