Φανταστικός αριθμός

Οι δυνάμεις του i είναι κυκλικές:
${\displaystyle \ \vdots }$
${\displaystyle \ i^{-2}=-1{\phantom {i}}}$
${\displaystyle \ i^{-1}=-i{\phantom {1}}}$
${\displaystyle \ \ i^{0}\ ={\phantom {-}}1{\phantom {i}}}$
${\displaystyle \ \ i^{1}\ ={\phantom {-}}i{\phantom {1}}}$
${\displaystyle \ \ i^{2}\ =-1{\phantom {i}}}$
${\displaystyle \ \ i^{3}\ =-i{\phantom {1}}}$
${\displaystyle \ \ i^{4}\ ={\phantom {-}}1{\phantom {i}}}$
${\displaystyle \ \ i^{5}\ ={\phantom {-}}i{\phantom {1}}}$
${\displaystyle \ \vdots }$
${\displaystyle i}$ είναι μια 4th ρίζα της μονάδας

Στα μαθηματικά, ένας φανταστικός αριθμός (ή καθαροφανταστικός αριθμός)^[1][2] είναι ένας μιγαδικός αριθμός, το τετράγωνο του οποίου είναι αρνητικός πραγματικός αριθμός. Ο όρος πλάστηκε από τον Ρενέ Ντεκάρτ το 1637 στο έργο του "Η Γεωμετρία" (La Géométrie) και είχε κάπως υποτιμητική σημασία. Το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού, είναι πάντα ένας μη αρνητικός αριθμός. Συνεπώς, αριθμοί με τις ιδιότητες των φανταστικών αριθμών θεωρούνταν εκείνη την εποχή ότι δεν μπορεί να "υπάρχουν" πραγματικά, όπως άλλωστε και το μηδέν και οι αρνητικοί αριθμοί θεωρήθηκαν κατά καιρούς από κάποιους ως πλασματικοί ή άχρηστοι.

Μπορεί κανείς να θεωρήσει τους φανταστικούς αριθμούς ως μια επέκταση του συνόλου των πραγματικών αριθμών.

Ιστορία

Αν και ο Έλληνας μαθηματικός και μηχανικός ο Ήρως ο Αλεξανδρεύς θεωρείται ο πρώτος που παρουσίασε έναν υπολογισμό που αφορούσε την τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού,^[3][4] ο Ραφαέλ Μπομπέλι έθεσε για πρώτη φορά τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των μιγαδικών αριθμών το 1572. Η έννοια είχε εμφανιστεί σε έντυπη μορφή νωρίτερα, όπως στο έργο του Τζερόλαμο Καρντάνο. Εκείνη την εποχή, οι φανταστικοί αριθμοί και οι αρνητικοί αριθμοί ήταν ελάχιστα κατανοητοί και θεωρούνταν από ορισμένους φανταστικοί ή άχρηστοι, όπως κάποτε το μηδέν. Πολλοί άλλοι μαθηματικοί άργησαν να υιοθετήσουν τη χρήση των φανταστικών αριθμών, συμπεριλαμβανομένου του Ρενέ Ντεκάρτ, ο οποίος έγραψε γι' αυτούς στο έργο του La Géométrie, στο οποίο επινόησε τον όρο φανταστικός και τον εννοούσε υποτιμητικά^[5][6] Η χρήση των φανταστικών αριθμών δεν έγινε ευρέως αποδεκτή μέχρι το έργο του Λέοναρντ Όιλερ (1707-1783) και του Καρλ Φρίντριχ Γκάους (1777-1855). Η γεωμετρική σημασία των μιγαδικών αριθμών ως σημεία σε ένα επίπεδο περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον Κάσπαρ Βέσελ (1745-1818)^[7].

Μια απεικόνιση του μιγαδικού επιπέδου. Οι φανταστικοί αριθμοί βρίσκονται στον κατακόρυφο άξονα συντεταγμένων.

Το 1843, ο Γουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον επέκτεινε την ιδέα ενός άξονα φανταστικών αριθμών στο επίπεδο σε έναν τετραδιάστατο χώρο φανταστικών τεταρτοβάθμιων, στον οποίο τρεις από τις διαστάσεις είναι ανάλογες με τους φανταστικούς αριθμούς στο μιγαδικό πεδίο.

Ορισμός

Κάθε μιγαδικός αριθμός μπορεί να γραφτεί στη μορφή ${\displaystyle a+bi}$^[8][9], όπου

${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ και ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{*}}$

και ${\displaystyle i}$ είναι η φανταστική μονάδα με την ιδιότητα:

${\displaystyle i^{2}=-1\ }$

δηλαδή, η φανταστική μονάδα εις το τετράγωνο ισούται με -1.

Μερικές φορές χρησιμοποιείται και ο συμβολισμός ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$, δηλαδή η φανταστική μονάδα σημειώνεται ως τετραγωνική ρίζα του αριθμού (-1). Αυτός όμως ο συμβολισμός καλό είναι να αποφεύγεται, διότι μπορεί να οδηγήσει σε λανθασμένα αποτελέσματα (π.χ. ${\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1}$).

Ο αριθμός ${\displaystyle a}$ είναι το πραγματικό μέρος του μιγαδικού αριθμού, ενώ ο ${\displaystyle b}$ είναι το φανταστικό μέρος. Μολονότι ο Ντεκάρτ χρησιμοποίησε αρχικά τον όρο "φανταστικός αριθμός" για να υποδηλώσει αυτό που ονομάζουμε σήμερα "μιγαδικό αριθμό", ο όρος "φανταστικός αριθμός" σήμερα σημαίνει συνήθως τον μιγαδικό αριθμό με πραγματικό μέρος ίσο με το ${\displaystyle 0}$ και φανταστικό μή μηδενικό, δηλαδή έναν αριθμό της μορφής ${\displaystyle bi:b\in \mathbb {R} ^{*}}$. (Μερικές φορές λέμε ότι οι φανταστικοί αριθμοί είναι "τα πολλαπλάσια της φανταστικής μονάδας").

Οι φανταστικοί αριθμοί στην πράξη

Παρά το παραπλανητικό τους όνομα, οι φανταστικοί αριθμοί είναι όχι μόνο υπαρκτοί αλλά και πολύ χρήσιμοι, με εφαρμογή στον ηλεκτρισμό, στην επεξεργασία σημάτων και σε πολλές άλλες εφαρμογές. Η πολική μορφή των μιγαδικών αριθμών τους καθιστά ιδανικούς για την αναπαράσταση περιστρεφόμενων διανυσμάτων και φάσεων και συνεπώς χρησιμοποιούνται ευρύτατα στην ηλεκτρονική (για την αναπαράσταση εναλλασσόμενων ρευμάτων), στην κυματική και γενικά στη μελέτη των περιοδικών φαινομένων.

Γεωμετρική ερμηνεία (μιγαδικό επίπεδο)

Αν ερμηνεύσουμε τον πολλαπλασιασμό ic (όπου c πραγματικός) ως στροφή του τμήματος Οc γύρω από το Ο κατά ορθή γωνία, το Οc στρέφεται και συμπίπτει με τον άξονα Οy, ένας επόμενος πολλαπλασιασμός με i, δηλαδή i²c, στρέφει το Οc κατά μια ακόμη ορθή γωνία και τελικά το +Οc γίνεται -Οc. Ως πράξη ο πολλαπλασιασμός με i² εχει το ίδιο αποτέλεσμα με τον πολλαπλασιασμό με -1, ο πολλαπλασιασμός με i έχει το ίδιο αποτέλεσμα με τη στροφή κατά ορθή γωνία.

Βιβλιογραφία

• Nahin, Paul (1998). An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of −1. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1. , explains many applications of imaginary expressions.

Παραπομπές

1. «Ελληνικό Μεσογειακό Πανεπιστήμιο - Μιγαδικοί Αριθμοί» (PDF). 
2. Weisstein, Eric W. «Imaginary Number». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 17 Μαΐου 2024. 
3. Hargittai, István (1992). Fivefold Symmetry (2 έκδοση). World Scientific. σελ. 153. ISBN 981-02-0600-3. 
4. Roy, Stephen Campbell (2007). Complex Numbers: lattice simulation and zeta function applications. Horwood. σελ. 1. ISBN 978-1-904275-25-1. 
5. Descartes, René, Discours de la méthode (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: La Géométrie, book three, p. 380. From page 380: "Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque Equation; mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité, qui corresponde a celles qu'on imagine, comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle cy, x³ – 6xx + 13x – 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu'imaginaires." (Moreover, the true roots as well as the false [roots] are not always real; but sometimes only imaginary [quantities]; that is to say, one can always imagine as many of them in each equation as I said; but there is sometimes no quantity that corresponds to what one imagines, just as although one can imagine three of them in this [equation], x³ – 6xx + 13x – 10 = 0, only one of them however is real, which is 2, and regarding the other two, although one increase, or decrease, or multiply them in the manner that I just explained, one would not be able to make them other than imaginary [quantities].)
6. Martinez, Albert A. (2006), Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8 , discusses ambiguities of meaning in imaginary expressions in historical context.
7. Rozenfeld, Boris Abramovich (1988). «Chapter 10». A History of Non-Euclidean Geometry: Evolution of the Concept of a Geometric Space. Springer. σελ. 382. ISBN 0-387-96458-4. 
8. Uno Ingard, K. (1988). «Chapter 2». Fundamentals of Waves and Oscillations. Cambridge University Press. σελ. 38. ISBN 0-521-33957-X. 
9. Weisstein, Eric W. «Imaginary Number». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 10 Αυγούστου 2020.