Υπερτέλειος αριθμός

Επίδειξη, με ράβδους Cuisenaire, της αφθονίας του αριθμού 12

Στη Θεωρία αριθμών, υπερτέλειος αριθμός (αγγλικά: abundant number‎‎) είναι ένας αριθμός που είναι μικρότερος από το άθροισμα των διαιρετών του, πλην τον ίδιο (proper divisors). Ο ακέραιος αριθμός 12 είναι ο πρώτος υπερτέλειος αριθμός. Οι διαιρέτες του (πλην τον ίδιο) είναι 1, 2, 3, 4 και 6 με άθροισμα 16. Το ποσό κατά το οποίο το άθροισμα υπερβαίνει τον αριθμό είναι η αφθονία. Ο αριθμός 12 έχει αφθονία 4 (16 - 12).

Ορισμός

Ένας αριθμός ν για τον οποίο το άθροισμα των διαιρετών σ(ν) > 2ν, ή, ισοδύναμα, το άθροισμα των κατάλληλων διαιρετών (ή άθροισμα ομαλών διαιρετών) s(ν) > ν.

Η αφθονία είναι η τιμή σ(ν) − 2ν (ή s(ν) − ν).

Παραδείγματα

Οι πρώτοι 28 υπερτέλειοι αριθμοί είναι:

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, ... (ακολουθία A005101 στην OEIS).

Για παράδειγμα, οι διαιρέτες του 24 (χωρίς το 24) είναι 1, 2, 3, 4, 6, 8 και 12, των οποίων το άθροισμα είναι 36. Επειδή το 36 είναι μεγαλύτερο από το 24, ο αριθμός 24 είναι υπερτέλειος. Η αφθονία του είναι 36 − 24 = 12.

Ιδιότητες

• Ο μικρότερος περιττός υπερτέλειος αριθμός είναι το 945.
• Ο μικρότερος υπερτέλειος αριθμός που δε διαιρείται με το 2 ή το 3 είναι ο 5.391.411.025 του οποίου οι ξεχωριστοί πρώτοι παράγοντες είναι 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 και 29 (ακολουθία A047802 στην OEIS). Ένας αλγόριθμος που δόθηκε από τον Ιανούτσι το 2005 δείχνει πώς να βρούμε τον μικρότερο υπερτέλειο αριθμό που δε διαιρείται με τους κ πρώτους αριθμούς.^[1] Αν ${\displaystyle \mathrm {A} (\kappa )}$ αντιπροσωπεύει τον μικρότερο υπερτέλειο αριθμό που δε διαιρείται με τους πρώτους κ πρώτους, τότε για όλα ${\displaystyle \gamma >0}$ έχουμε

${\displaystyle (1-\epsilon )(k\ln k)^{2-\epsilon }<\ln A(k)<(1+\epsilon )(k\ln k)^{2+\epsilon }}$

για αρκετά μεγάλο κ.

• Κάθε πολλαπλάσιο ενός τέλειου αριθμού είναι υπερτέλειος αριθμός.^[2] Για παράδειγμα, κάθε πολλαπλάσιο του 6 είναι υπερτέλειο γιατί ${\displaystyle 1+{\tfrac {\nu }{2}}+{\tfrac {\nu }{3}}+{\tfrac {\nu }{6}}=\nu +1.}$
• Κάθε πολλαπλάσιο ενός υπερτέλειου αριθμού είναι υπερτέλειο.^[2] Για παράδειγμα, κάθε πολλαπλάσιο του 20 (συμπεριλαμβανομένου του ίδιου του 20) είναι υπερτέλειο επειδή ${\displaystyle {\tfrac {\nu }{2}}+{\tfrac {\nu }{4}}+{\tfrac {\nu }{5}}+{\tfrac {\nu }{10}}+{\tfrac {\nu }{20}}=\nu +{\tfrac {\nu }{10}}.}$
• Κατά συνέπεια, υπάρχουν απείρως πολλοί άρτιοι και περιττοί υπερτέλειοι αριθμοί.
• Επιπλέον, το σύνολο των υπερτέλειων αριθμών έχει μη μηδενική φυσική πυκνότητα.^[3] Ο Μαρκ Ντελεγκλίζ έδειξε το 1998 ότι η φυσική πυκνότητα του συνόλου των υπερτέλειων αριθμών και των τέλειων αριθμών είναι μεταξύ 0,2474 και 0,2480. ^[4]
• Ένας υπερτέλειος αριθμός που δεν είναι το πολλαπλάσιο ενός υπερτέλειου αριθμού ή τέλειου αριθμού (δηλαδή όλοι οι κατάλληλοι διαιρέτες του είναι ελλειμματικοί) ονομάζεται αρχικός υπερτέλειος αριθμός
• Ένας υπερτέλειος αριθμός του οποίου η αφθονία είναι μεγαλύτερη από οποιονδήποτε μικρότερο αριθμό ονομάζεται πολύ υπερτέλειος αριθμός και ένας του οποίου η σχετική αφθονία (δηλ. s(ν)/ν) είναι μεγαλύτερη από οποιοδήποτε μικρότερο αριθμό ονομάζεται υπεράφθονος αριθμός
• Κάθε ακέραιος μεγαλύτερος του 20.161 μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα δύο υπερτέλειος αριθμών.
• Ένας υπερτέλειος αριθμός που δεν είναι ημιτέλειος ονομάζεται περίεργος αριθμός.^[5] Ένας υπερτέλειος αριθμός με αφθονία 1 ονομάζεται οιονεί τέλειος αριθμός, αν και κανένας δεν έχει βρεθεί ακόμη.

Σχετικές έννοιες

Οι αριθμοί των οποίων το άθροισμα των κατάλληλων παραγόντων τους ισούται με τον ίδιο τον αριθμό (όπως 6 και 28) ονομάζονται τέλειοι αριθμοί, ενώ οι αριθμοί των οποίων το άθροισμα των κατάλληλων παραγόντων τους είναι μικρότερος από τον ίδιο τον αριθμό ονομάζονται ελλιπείς αριθμοί. Η πρώτη γνωστή ταξινόμηση των αριθμών ως ανεπαρκών, τέλειων ή υπερτέλειων έγινε από τον Νικόμαχο στο Ἀριθμητικὴ εἰσαγωγή (περίπου το 100 μ.Χ.), το οποίο περιέγραφε τους άφθονους αριθμούς σαν παραμορφωμένα ζώα με πάρα πολλά άκρα.

Ο δείκτης αφθονίας του ν είναι ο λόγος σ(ν)/ν.^[6] Οι διακριτοί αριθμοί ν₁, ν₂, ... (είτε υπερτέλειοι είτε όχι) με τον ίδιο δείκτη αφθονίας ονομάζονται φιλικοί αριθμοί.

Η ακολουθία (α_κ) τουλάχιστον ν αριθμών έτσι ώστε σ(ν) > κν, στην οποία το α₂ = 12 αντιστοιχεί στον πρώτο υπερτέλειο αριθμό, αναπτύσσεται πολύ γρήγορα (ακολουθία A134716 στην OEIS)

Ο μικρότερος περιττός ακέραιος με δείκτη αφθονίας που υπερβαίνει το 3 είναι ο 1.018.976.683.725 = 3³ × 5² × 7² × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29.

Εάν το p = (p₁, ..., p_ν) είναι μια λίστα πρώτων, τότε το p ονομάζεται υπερτέλειο εάν κάποιος ακέραιος αριθμός που αποτελείται μόνο από πρώτους στο p είναι υπερτέλειος. Απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για αυτό είναι το γινόμενο του p_i/(p_i − 1) να είναι > 2.^[7]

Παραπομπές

1. D. Iannucci (2005), «On the smallest abundant number not divisible by the first k primes», Bulletin of the Belgian Mathematical Society 12 (1): 39–44, http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bbms/1113318127 
2. Tattersall (2005) p.134
3. Hall, Richard R.· Tenenbaum, Gérald (1988). Divisors. Cambridge Tracts in Mathematics. 90. Cambridge: Cambridge University Press. σελ. 95. ISBN 978-0-521-34056-4. 
4. Deléglise, Marc (1998). «Bounds for the density of abundant integers». Experimental Mathematics 7 (2): 137–143. doi:10.1080/10586458.1998.10504363. ISSN 1058-6458. . . http://projecteuclid.org/euclid.em/1048515661. 
5. Tatersall (2005) p.144
6. Laatsch, Richard (1986). «Measuring the abundancy of integers». Mathematics Magazine 59: 84–92. doi:10.2307/2690424. ISSN 0025-570X. . . https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1986-04_59_2/page/84. 
7. Friedman, Charles N. (1993). «Sums of divisors and Egyptian fractions». Journal of Number Theory 44 (3): 328–339. doi:10.1006/jnth.1993.1057. . . Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2012-02-10. https://web.archive.org/web/20120210165648/http://dell5.ma.utexas.edu/users/friedman/divisors.ps. Ανακτήθηκε στις 2012-09-29. 

• Tattersall, James J. (2005). Elementary Number Theory in Nine Chapters (2nd έκδοση). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85014-8. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• The Prime Glossary: Άφθονος αριθμός
• Weisstein, Eric W., "Abundant Number" από το MathWorld.