Τετραεδρικός αριθμός

Μια πυραμίδα με μήκος πλευράς 5 περιέχει 35 σφαίρες. Κάθε επίπεδο αντιπροσωπεύει έναν από τους πέντε πρώτους τριγωνικούς αριθμούς.

Ένας τετραεδρικός αριθμός ή τριγωνικός πυραμιδικός αριθμός είναι ένας αριθμός που αντιπροσωπεύει μια πυραμίδα με τριγωνική βάση και τρεις πλευρές, δηλαδή ένα τετράεδρο. Ο n-οστός τετραεδρικός αριθμός, Te_n, είναι το άθροισμα των πρώτων n τριγωνικών αριθμών, δηλαδή:

${\displaystyle Te_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}=\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{k}i\right)}$

Οι τετραεδρικοί αριθμοί είναι:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, ... (ακολουθία A000292 στην OEIS)

Τύπος

Ο τύπος για τον n-οστό τετραεδρικό αριθμό μπορεί να γραφτεί και ως εξής:

${\displaystyle Te_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}=\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{k}i\right)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}}$

Οι τετραεδρικοί αριθμοί μπορούν επίσης να αναπαρασταθούν ως διωνυμικοί συντελεστές:

${\displaystyle Te_{n}={\binom {n+2}{3}}.}$

Οι τετραεδρικοί αριθμοί μπορούν επομένως να βρεθούν στην τέταρτη θέση είτε από αριστερά είτε από δεξιά στο τρίγωνο του Πασκάλ.

Απόδειξη

Αυτή η απόδειξη χρησιμοποιεί το γεγονός ότι ο n-οστός τριγωνικός αριθμός δίνεται από τον τύπο:

${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}.}$

Αποδεικνύεται με επαγωγή.

Βασικό βήμα:

${\displaystyle Te_{1}=1={\frac {1\cdot 2\cdot 3}{6}}.}$

Επαγωγικό βήμα:

${\displaystyle {\begin{aligned}Te_{n+1}\quad &=Te_{n}+T_{n+1}\\&={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}\\&=(n+1)(n+2)\left({\frac {n}{6}}+{\frac {1}{2}}\right)\\&={\frac {(n+1)(n+2)(n+3)}{6}}.\end{aligned}}}$

Αναδρομική σχέση

Οι τετραεδρικοί και οι τριγωνικοί αριθμοί συσχετίζονται μέσω των αναδρομικών τύπων:

${\displaystyle {\begin{aligned}&Te_{n}=Te_{n-1}+T_{n}&(1)\\&T_{n}=T_{n-1}+n&(2)\end{aligned}}}$

Η εξίσωση ${\displaystyle (1)}$ γίνεται

${\displaystyle {\begin{aligned}&Te_{n}=Te_{n-1}+T_{n-1}+n\end{aligned}}}$

Αντικαθιστώντας το ${\displaystyle n-1}$ στη θέση του ${\displaystyle n}$ στην εξίσωση ${\displaystyle (1)}$ έχουμε:

${\displaystyle {\begin{aligned}&Te_{n-1}=Te_{n-2}+T_{n-1}\end{aligned}}}$

Έτσι, o ${\displaystyle n}$-οστός τετραεδρικός αριθμός ικανοποιεί την ακόλουθη αναδρομική εξίσωση:

${\displaystyle {\begin{aligned}&Te_{n}=2Te_{n-1}-Te_{n-2}+n\end{aligned}}}$

Γενίκευση

Το μοτίβο που βρέθηκε για τους τριγωνικούς αριθμούς, ${\displaystyle \sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{2}+1}{2}}}$, και για τους τετραεδρικούς αριθμούς, ${\displaystyle \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{3}+2}{3}}}$, μπορεί να γενικευτεί. Αυτό οδηγεί στον ακόλουθο τύπο:^[1]$${\displaystyle \sum _{n_{k-1}=1}^{n_{k}}\sum _{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\ldots \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{k}+k-1}{k}}}$$

Γεωμετρική ερμηνεία

Οι τετραεδρικοί αριθμοί μπορούν να μοντελοποιηθούν με την στοίβαξη σφαιρών. Για παράδειγμα, ο πέμπτος τετραεδρικός αριθμός (Te₅ = 35) μπορεί να φτιαχτεί με 35 μπάλες και ένα κανονικό τρίγωνο μπιλιάρδου στο οποίο χωράνε 15 μπάλες. Στη συνέχεια, 10 ακόμη μπάλες στοιβάζονται πάνω από αυτές, μετά άλλες 6, μετά άλλες τρεις και τέλος μία μπάλα στην κορυφή για να γίνει το τετράεδρο.

Τετραεδρικές ρίζες και τέστ για τετραεδρικούς αριθμούς

Κατ' αναλογία με την κυβική ρίζα του x, μπορούμε να ορίσουμε την (πραγματική) τετραεδρική ρίζα του x ως τον αριθμό n, έτσι ώστε Te_n = x:$${\displaystyle n={\sqrt[{3}]{3x+{\sqrt {9{x^{2}}-{\frac {1}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{3x-{\sqrt {9{x^{2}}-{\frac {1}{27}}}}}}-1}$$

που προκύπτει από τον τύπο του Καρντάνο. Ισοδύναμα, αν η πραγματική τετραεδρική ρίζα n του x είναι ακέραιος, τότε το x είναι ο n-οστός τετραεδρικός αριθμός.

Ιδιότητες

• Te_n + Te_n−1 = 1² + 2² + 3² ... + n², οι τετραγωνικοί πυραμιδικοί αριθμοί.

  Te_2n+1 = 1² + 3² ... + (2n+1)², το άθροισμα των περιττών τετραγώνων.

  Te_2n = 2² + 4² ... + (2n)², το άθροισμα των άρτιων τετραγώνων.

• Ο A. J. Meyl απέδειξε το 1878 ότι μόνο τρεις τετραεδρικοί αριθμοί είναι επίσης τέλεια τετράγωνα, συγκεκριμένα:

  Te₁ = 1² = 1

  Te₂ = 2² = 4

  Te₄₈ = 140² = 19600.

• Η εικασία του Sir Frederick Pollock λέει ότι κάθε θετικός ακέραιος είναι το άθροισμα το πολύ 5 τετραεδρικών αριθμών.
• Ο μόνος τετραεδρικός αριθμός που είναι επίσης και τετραγωνικός πυραμιδικός αριθμός είναι το 1 (Beukers, 1988) και ο μόνος τετραεδρικός αριθμός που είναι επίσης τέλειος κύβος είναι το 1.
• Το άπειρο άθροισμα των αντίστροφων τετραεδρικών αριθμών ισούται με 3/2, το οποίο μπορεί να εξαχθεί χρησιμοποιώντας μια τηλεσκοπική σειρά:

  ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6}{n(n+1)(n+2)}}={\frac {3}{2}}.}$

• Οι τετραεδρικοί αριθμοί ακολουθούν το ακόλουθο επαναλαμβανόμενο μοτίβο: περιττός-άρτιος-άρτιος-άρτιος.
• Παρατηρούμε στους τετραεδρικούς αριθμούς ότι:

  Te₅ = Te₄ + Te₃ + Te₂ + Te₁

• Οι αριθμοί που είναι και τριγωνικοί και τετραεδρικοί πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση του διωνυμικού συντελεστή:

  ${\displaystyle T_{n}={\binom {n+1}{2}}={\binom {m+2}{3}}=Te_{m}.}$

Οι μόνοι αριθμοί που είναι ταυτόχρονα και τετραεδρικοί και τριγωνικοί είναι (ακολουθία A027568 στην OEIS):

Te₁ = T₁ = 1

Te₃ = T₄ = 10

Te₈ = T₁₅ = 120

Te₂₀ = T₅₅ = 1540

Te₃₄ = T₁₁₉ = 7140

• Te_n είναι το άθροισμα όλων των γινομένων p × q, όπου (p, q) είναι διατεταγμένα ζεύγη και p + q = n + 1.

• Ο μεγαλύτερος τετραεδρικός αριθμός της μορφής ${\displaystyle 2^{a}+3^{b}+1}$, με a και b να είναι ακέραιοι, είναι το 8436.

Αναφορές

1. Baumann, Michael Heinrich (2018-12-12). «Die k-dimensionale Champagnerpyramide» (στα γερμανικά). Mathematische Semesterberichte 66: 89–100. doi:10.1007/s00591-018-00236-x. ISSN 1432-1815. https://epub.uni-bayreuth.de/3850/1/Baumann_Champagnerpyramide.pdf. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Weisstein, Eric W., "Tetrahedral Number" από το MathWorld.
• Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula by Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project.