Ταυτοτικός πίνακας

Στη γραμμική άλγεβρα, ο ταυτοτικός ή μοναδιαίος πίνακας είναι ο πίνακας ο οποίος έχει την μονάδα σε όλα τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου και το μηδέν σε όλα τα άλλα στοιχεία. Πιο συγκεκριμένα, σε έναν διανυσματικό χώρο ${\displaystyle V}$ με ${\displaystyle n}$ διαστάσεις, ο ${\displaystyle n\times n}$ ταυτοτικός πίνακας είναι ο πίνακας ${\displaystyle I_{n}}$ με^{[1]:34[2]:15[3]:7}

${\displaystyle (I_{n})_{ij}={\begin{cases}1&{\text{αν }}i=j,\\0&{\text{διαφορετικά}},\end{cases}}}$

για κάθε ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$, όπου ${\displaystyle 0}$ είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και ${\displaystyle 1}$ το ουδέτερο στοιχείο του βαθμωτού πολλαπλασιασμού στον διανυσματικό χώρο. Η συνάρτηση στο δεξί μέλος είναι η συνάρτηση δέλτα του Κρόνεκερ, επομένως ${\displaystyle (I_{n})_{ij}=\delta _{ij}}$.^[4]:33

Διαγραμματικά ο πίνακας δίνεται ως εξής:

${\displaystyle I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$

Παραδείγματα

• Για ${\displaystyle n=1}$, ${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}}$.
• Για ${\displaystyle n=2}$, ${\displaystyle I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$.
• Για ${\displaystyle n=3}$, ${\displaystyle I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$.

Ιδιότητες

• Για κάθε ${\displaystyle n\times n}$ πίνακα ${\displaystyle A}$ έχουμε ότι

${\displaystyle A\cdot I_{n}=I_{n}\cdot A=A}$

Δηλαδή, ο ταυτοτικός πίνακας είναι το ταυτοτικό (ή ουδέτερο) στοιχείο των πινάκων ως προς τον πολλαπλασιασμό πινάκων.^[1]: 34

• Πιο γενικά, για κάθε ${\displaystyle n\times m}$ πίνακα ${\displaystyle A}$ έχουμε ότι^[5]:284

${\displaystyle A\cdot I_{m}=I_{n}\cdot A=A}$.

• Η ορίζουσα του πίνακα είναι ${\displaystyle \mathrm {det} (I_{n})=1}$.^[1]: 51
• Το ίχνος του πίνακα ${\displaystyle \mathrm {tr} (I_{n})=\textstyle \sum _{i=1}^{n}(I_{n})_{ii}=n}$.
• Ο πίνακας είναι συμμετρικός, καθώς ο ανάστροφος ${\displaystyle I_{n}^{T}=I_{n}}$.
• Ο πίνακας είναι ορθογώνιος, καθώς ${\displaystyle I_{n}\cdot I_{n}^{T}=I_{n}\cdot I_{n}=I_{n}}$.
• Ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος και ο αντίστροφός του είναι ο ίδιος ο πίνακας.^[1]: 39
• Έχει ιδιοτιμή το ${\displaystyle 1}$ με πολλαπλότητα ${\displaystyle n}$ και κάθε διάνυσμα ${\displaystyle v\neq \mathbf {0} }$ είναι ιδιοδιάνυσμα.^[1]: 130
• Ο πίνακας είναι διαγώνιος και μπορεί να γραφτεί ως ${\displaystyle \mathrm {diag} (1,1,\ldots ,1)}$.

Παραπομπές

1. Χαραλάμπους, Χ.· Φωτιάδης, Α. (2015). Μία εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα για τις θετικές επιστήμες. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-273-8. 
2. Βασιλειάδης, Π. (1983). Στοιχειώδης γραμμική άλγεβρα: Θεωρία, μεθοδολογία, παραδείγματα, ασκήσεις. Θεσσαλονίκη. 
3. Βουκούτης, Ν. Εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα: Πίνακες, Ορίζουσες, Γραμμικά συστήματα για τις πανελλήνιες εξετάσεις β' λυκείου. Αθήνα: Δημόκριτος. 
4. Μπράτσος, Α. (2015). Μαθήματα ανωτέρων μαθηματικών. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-030-7. 
5. Bernstein, Dennis S. (2018). Scalar, Vector, and Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas. Princeton University Press. ISBN 9781400888252.