Παραγοντική ροπή

Στην θεωρία πιθανοτήτων, η παραγοντική ροπή βαθμού ${\displaystyle k\in \{0,1,\ldots \}}$ μίας τυχαίας μεταβλητής ${\displaystyle X}$, ορίζεται ως η αναμενόμενη τιμή^[1][2][3]

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{(k)}]=\operatorname {E} [X\cdot (X-1)\cdot \ldots \cdot (X-k+1)].}$

Παραδείγματα

Κατανομή Πουασσόν

Έστω μία τυχαία μεταβλητή ${\displaystyle X}$ που ακολουθεί την κατανομή Πουασσόν με παράμετρο ${\displaystyle \lambda >0}$. Η παραγοντική ροπή βαθμού ${\displaystyle k}$ δίνεται από τον τυπο:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X^{(k)}]&=\sum _{x=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}\cdot x\cdot (x-1)\cdot \ldots \cdot (x-k+1)\\&=\lambda ^{k}\cdot \sum _{x=k}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x-k}}{(x-k)!}}\\&=\lambda ^{k}\cdot \sum _{x=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}\\&=\lambda ^{k}\cdot \sum _{x=0}^{\infty }\operatorname {P} (X=x)\\&=\lambda ^{k}.\end{aligned}}}$

Διωνυμική κατανομή

Έστω μία τυχαία μεταβλητή ${\displaystyle X}$ που ακολουθεί την διωνυμική κατανομή ${\displaystyle {\mathsf {Bin}}(n,p)}$. Η παραγοντική ροπή βαθμού ${\displaystyle k}$ δίνεται από τον τύπο:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X^{(k)}]&=\sum _{x=0}^{n}{\binom {n}{x}}\cdot p^{x}\cdot (1-p)^{n-x}\cdot x\cdot (x-1)\cdot \ldots \cdot (x-k+1)\\&=\sum _{x=0}^{n}{\frac {n!}{x!\cdot (n-x)!}}\cdot p^{x}\cdot (1-p)^{n-x}\cdot x\cdot (x-1)\cdot \ldots \cdot (x-k+1)\\&=\sum _{x=k}^{n}{\frac {n!}{(x-k)!\cdot (n-x)!}}\cdot p^{x}\cdot (1-p)^{(n-k)-(x-k)}\\&=n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)\cdot \sum _{x=k}^{n}{\binom {n-k}{x-k}}\cdot p^{x}\cdot (1-p)^{(n-k)-(x-k)}\\&=n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)\cdot \sum _{x=0}^{n-k}{\binom {n-k}{x}}\cdot p^{x}\cdot (1-p)^{(n-k)-x}\\&=n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1).\end{aligned}}}$

Παραπομπές

1. Ραπτόπουλος, Χριστόφορος· Νικολετσέας, Σωτήρης. «Πιθανογεννήτριες, Ροπογεννήτριες» (PDF). Πανεπιστήμιο Πατρών. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 7 Ιουνίου 2023. Ανακτήθηκε στις 7 Ιουνίου 2023. 
2. Δημητράκος, Θεοδόσης. «Πιθανογεννήτριες, ροπογεννήτριες και χαρακτηριστικές συναρτήσεις» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Ανακτήθηκε στις 7 Ιουνίου 2023. 
3. Γιαννόπουλος, Απόστολος. «Γεννήτριες και χαρακτηριστικές συναρτήσεις» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 7 Ιουνίου 2023.