Μιγαδικό τετραγωνικό πολυώνυμο

Ένα μιγαδικό τετραγωνικό πολυώνυμο είναι ένα τετραγωνικό πολυώνυμο του οποίου οι συντελεστές και η μεταβλητή είναι μιγαδικοί αριθμοί.

Ιδιότητες

Τα τετραγωνικά πολυώνυμα έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες, ανεξάρτητα από τη μορφή τους:

• Είναι μονοκρίσιμο πολυώνυμο, δηλαδή έχει ένα μόνο πεπερασμένο κρίσιμο σημείο στο μιγαδικό επίπεδο. Το δυναμικό επίπεδο αποτελείται από 2 το πολύ λεκάνες: τη λεκάνη του απείρου και τη λεκάνη του πεπερασμένου κρίσιμου σημείου (αν το πεπερασμένο κρίσιμο σημείο δεν διαφεύγει).
• Μπορεί να είναι μετα-κριτικά πεπερασμένο, δηλαδή η τροχιά του κρίσιμου σημείου μπορεί να είναι πεπερασμένη, επειδή το κρίσιμο σημείο είναι περιοδικό ή προ-περιοδικό^[1].
• Είναι μονότροπη συνάρτηση,
• Είναι Ρητή συνάρτηση,
• Είναι ολοκληρωμένη συνάρτηση.

Τύποι

Όταν το τετραγωνικό πολυώνυμο έχει μόνο μία μεταβλητή (μονομεταβλητό), υπάρχουν τέσσερις κύριες μορφές:

• Η γενική μορφή: ${\displaystyle f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$ όπου ${\displaystyle a_{2}\neq 0}$
• Η παραγοντική μορφή που χρησιμοποιείται για τον λογιστικό χάρτη: ${\displaystyle f_{r}(x)=rx(1-x)}$
• ${\displaystyle f_{\theta }(x)=x^{2}+\lambda x}$ που έχει αδιάφορο σταθερό σημείο με πολλαπλασιαστή ${\displaystyle \lambda =e^{2\pi \theta i}}$ στην αφετηρία ^[2]
• Το μονικό πολυώνυμο και η κεντροποιημένη μορφή, ${\displaystyle f_{c}(x)=x^{2}+c}$

Η μονική και κεντραρισμένη μορφή έχει μελετηθεί εκτενώς και έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

• Είναι η απλούστερη μορφή μιας μη γραμμικής συνάρτησης με έναν συντελεστή (παράμετρος),
• Είναι ένα κεντραρισμένο πολυώνυμο (το άθροισμα των κρίσιμων σημείων του είναι μηδέν).^[3]
• Είναι διωνυμικό (πολυώνυμο)

Η μορφή λάμδα ${\displaystyle f_{\lambda }(z)=z^{2}+\lambda z}$ είναι:

• η απλούστερη μη τετριμμένη διαταραχή του αδιατάρακτου συστήματος ${\displaystyle z\mapsto \lambda z}$
• "η πρώτη οικογένεια δυναμικών συστημάτων στην οποία είναι γνωστές ρητές αναγκαίες και ικανές συνθήκες για το πότε ένα πρόβλημα μικρού διαιρέτη είναι σταθερό"^[4]

Συζυγία

Μεταξύ σχημάτων

Δεδομένου ότι το ${\displaystyle f_{c}(x)}$ είναι συζυγές με τη γενική μορφή του τετραγωνικού πολυωνύμου χρησιμοποιείται συχνά για τη μελέτη της σύνθετης δυναμικής και για τη δημιουργία εικόνων των συνόλων Μάντελμπροτ, Julia και Φατού.

Εάν επιθυμούμε αλλαγή από ${\displaystyle \theta }$ σε ${\displaystyle c}$:^[2]

${\displaystyle c=c(\theta )={\frac {e^{2\pi \theta i}}{2}}\left(1-{\frac {e^{2\pi \theta i}}{2}}\right).}$

Όταν θέλουμε να μεταβούμε από το ${\displaystyle r}$ στο ${\displaystyle c}$, ο μετασχηματισμός των παραμέτρων είναι^[5]

${\displaystyle c=c(r)={\frac {1-(r-1)^{2}}{4}}=-{\frac {r}{2}}\left({\frac {r-2}{2}}\right)}$

και ο μετασχηματισμός μεταξύ των μεταβλητών στο ${\displaystyle z_{t+1}=z_{t}^{2}+c}$ και ${\displaystyle x_{t+1}=rx_{t}(1-x_{t})}$ είναι

${\displaystyle z=r\left({\frac {1}{2}}-x\right).}$

Με διπλασιασμό χάρτη

Υπάρχει ημι-συζυγία μεταξύ του δυαδικού μετασχηματισμού (του χάρτη διπλασιασμού) και της τετραγωνικής πολυωνυμικής περίπτωσης του c = –2.

Συμβολισμός

Επανάληψη

Εδώ ${\displaystyle f^{n}}$ δηλώνει την n-th επαναλαμβανόμενη τιμή της συνάρτησης ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle f_{c}^{n}(z)=f_{c}^{1}(f_{c}^{n-1}(z))}$

οπότε

${\displaystyle z_{n}=f_{c}^{n}(z_{0}).}$

Λόγω πιθανής σύγχυσης με την εκθετικοποίηση, ορισμένοι συντάκτες γράφουν ${\displaystyle f^{\circ n}}$ για την nth επαναλαμβανόμενη επανάληψη της ${\displaystyle f}$.

Παράμετρος

Η μονική και κεντροποιημένη μορφή ${\displaystyle f_{c}(x)=x^{2}+c}$ μπορεί να σημειωθεί με:

• την παράμετρο ${\displaystyle c}$
• την εξωτερική γωνία ${\displaystyle \theta }$ της ακτίνας που προσγειώνεται:
  • στο c στο σύνολο Μάντελμπροτ του επιπέδου παραμέτρων
  • στην κρίσιμη τιμή: z = c στο σύνολο Julia του δυναμικού επιπέδου

οπότε :

${\displaystyle f_{c}=f_{\theta }}$

${\displaystyle c=c({\theta })}$

Παραδείγματα:

• Το c είναι το σημείο προσγείωσης της 1/6 εξωτερικής ακτίνας του συνόλου Μάντελμπροτ και είναι ${\displaystyle z\to z^{2}+i}$ (όπου i^2=-1)
• c είναι το σημείο προσγείωσης της 5/14 εξωτερικής ακτίνας και είναι ${\displaystyle z\to z^{2}+c}$ με ${\displaystyle c=-1.23922555538957+0.412602181602004*i}$

• 
  1/4
• 
  1/6
• 
  9/56
• 
  129/16256

Χάρτης

Η μονική και κεντραρισμένη μορφή, που μερικές φορές ονομάζεται οικογένεια τετραγωνικών πολυωνύμων Ντουάντι-Χάμπαρντ,^[6] χρησιμοποιείται συνήθως με μεταβλητή ${\displaystyle z}$ και παράμετρο ${\displaystyle c}$:

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c.}$

Όταν χρησιμοποιείται ως συνάρτηση εξέλιξης του διακριτού μη γραμμικού δυναμικού συστήματος

${\displaystyle z_{n+1}=f_{c}(z_{n})}$

ονομάζεται τετραγωνικός χάρτης:^[7]

${\displaystyle f_{c}:z\to z^{2}+c.}$

Το σύνολο Μάντελμπροτ είναι το σύνολο των τιμών της παραμέτρου c για τις οποίες η αρχική συνθήκη z₀ = 0 δεν προκαλεί απόκλιση των επαναλήψεων στο άπειρο.

Κρίσιμα στοιχεία

Κρίσιμα σημεία

Σύνθετο επίπεδο

Κρίσιμο σημείο της ${\displaystyle f_{c}}$ είναι ένα σημείο ${\displaystyle z_{cr}}$ στο δυναμικό επίπεδο τέτοιο ώστε η παράγωγος να εξαφανίζεται:

${\displaystyle f_{c}'(z_{cr})=0.}$

Από το

${\displaystyle f_{c}'(z)={\frac {d}{dz}}f_{c}(z)=2z}$

υποδηλώνει

${\displaystyle z_{cr}=0,}$

διαπιστώνουμε ότι το μοναδικό (πεπερασμένο) κρίσιμο σημείο του ${\displaystyle f_{c}}$ είναι το σημείο ${\displaystyle z_{cr}=0}$.

${\displaystyle z_{0}}$ είναι ένα αρχικό σημείο για την επανάληψη του συνόλου Μάντελμπροτ^[8]

Για την τετραγωνική οικογένεια ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$ το κρίσιμο σημείο z=0 είναι το κέντρο συμμετρίας του σύνολο Julia Jc, οπότε είναι ένας κυρτός συνδυασμός δύο σημείων στο Jc.^[9]

Εκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο

Στη Σφαίρα του Ρίμαν το πολυώνυμο έχει 2d-2 κρίσιμα σημεία. Εδώ το μηδέν και το άπειρο είναι κρίσιμα σημεία.

Κρίσιμη αξία

Μια κρίσιμη τιμή ${\displaystyle z_{cv}}$ της ${\displaystyle f_{c}}$ είναι η εικόνα ενός κρίσιμου σημείου:

${\displaystyle z_{cv}=f_{c}(z_{cr})}$

Από το

${\displaystyle z_{cr}=0}$

έχουμε

${\displaystyle z_{cv}=c}$

Έτσι, η παράμετρος ${\displaystyle c}$ είναι η κρίσιμη τιμή της ${\displaystyle f_{c}(z)}$.

Καμπύλες κρίσιμου επιπέδου

Μια καμπύλη κρίσιμης στάθμης είναι η καμπύλη στάθμης που περιέχει κρίσιμο σημείο. Λειτουργεί ως ένα είδος σκελετού^[10] του δυναμικού επιπέδου.

Παράδειγμα : οι καμπύλες επιπέδων διασταυρώνονται στο σημείο σέλας, το οποίο είναι ένας ειδικός τύπος κρίσιμου σημείου.

• 
  προσέλκυση
• 
  προσέλκυση
• 
  προσέλκυση
• 
  παραβολική
• Βίντεο για το c κατά μήκος της εσωτερικής ακτίνας 0

Ορισμός κρίσιμου ορίου

Το κρίσιμο οριακό σύνολο είναι το σύνολο της εμπρόσθιας τροχιάς όλων των κρίσιμων σημείων

Κρίσιμη τροχιά

Δυναμικό επίπεδο με κρίσιμη τροχιά που εμπίπτει σε κύκλο 3 περιόδων

Δυναμικό επίπεδο με σύνολο Julia και κρίσιμη τροχιά.

Δυναμικό επίπεδο : μεταβολές της κρίσιμης τροχιάς κατά μήκος της εσωτερικής ακτίνας της κύριας καρδιοειδούς για γωνία 1/6

Κρίσιμη τροχιά που τείνει σε ασθενώς ελκυστικό σταθερό σημείο με abs(πολλαπλασιαστής) = 0,99993612384259

Η εμπρόσθια τροχιά ενός κρίσιμου σημείου ονομάζεται κρίσιμη τροχιά. Οι κρίσιμες τροχιές είναι πολύ σημαντικές επειδή κάθε ελκτική περιοδική τροχιά έλκει ένα κρίσιμο σημείο, οπότε η μελέτη των κρίσιμων τροχιών μας βοηθά να κατανοήσουμε τη δυναμική στο σύνολο Φατού.^[11][12][13]

${\displaystyle z_{0}=z_{cr}=0}$

${\displaystyle z_{1}=f_{c}(z_{0})=c}$

${\displaystyle z_{2}=f_{c}(z_{1})=c^{2}+c}$

${\displaystyle z_{3}=f_{c}(z_{2})=(c^{2}+c)^{2}+c}$

${\displaystyle \ \vdots }$

Αυτή η τροχιά εμπίπτει σε έναν ελκτικό περιοδικό κύκλο, αν υπάρχει.

Κρίσιμος τομέας

Ο κρίσιμος τομέας είναι ένας τομέας του δυναμικού επιπέδου που περιέχει το κρίσιμο σημείο.

Κρίσιμο σύνολο

Το κρίσιμο σύνολο είναι ένα σύνολο κρίσιμων σημείων

Κριτικό πολυώνυμο

${\displaystyle P_{n}(c)=f_{c}^{n}(z_{cr})=f_{c}^{n}(0)}$

οπότε

${\displaystyle P_{0}(c)=0}$

${\displaystyle P_{1}(c)=c}$

${\displaystyle P_{2}(c)=c^{2}+c}$

${\displaystyle P_{3}(c)=(c^{2}+c)^{2}+c}$

Αυτά τα πολυώνυμα χρησιμοποιούνται για:

• εύρεση των κέντρων αυτών των συνιστωσών του συνόλου Μάντελμπροτ περιόδου n. Τα κέντρα είναι οι ρίζες των n-th κρίσιμων πολυωνύμων

${\displaystyle {\text{centers}}=\{c:P_{n}(c)=0\}}$

• εύρεση ριζών των συνιστωσών του συνόλου Mandelbrot περιόδου n (τοπικό ελάχιστο του ${\displaystyle P_{n}(c)}$)
• Σημείο Μισιουρέβιτς

${\displaystyle M_{n,k}=\{c:P_{k}(c)=P_{k+n}(c)\}}$

Κρίσιμες καμπύλες

Κρίσιμες καμπύλες

Τα διαγράμματα των κρίσιμων πολυωνύμων ονομάζονται κρίσιμες καμπύλες.^[14]

Αυτές οι καμπύλες δημιουργούν τον σκελετό (οι σκούρες γραμμές) ενός διάγραμμα διακλάδωσης.^[15][16]

Χώροι, επίπεδα

4Δ χώροι

Μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει τον τετραδιάστατο (4D) χώρο Julia-Μάντελμπροτ για μια σφαιρική ανάλυση αυτού του δυναμικού συστήματος.^[17]

w-plane and c-plane

Στο χώρο αυτό υπάρχουν δύο βασικοί τύποι 2D επιπέδων:

• το δυναμικό (δυναμικό) επίπεδο, ${\displaystyle f_{c}}$-επίπεδο ή c'-επίπεδο
• το επίπεδο παραμέτρων ή z-επίπεδο

Υπάρχει επίσης ένα άλλο επίπεδο που χρησιμοποιείται για την ανάλυση τέτοιων δυναμικών συστημάτων w-επίπεδο:

• το επίπεδο σύζευξης ^[18]
• πρότυπο επίπεδο. ^[19]

2Δ Επίπεδο παραμέτρων

• Parameter plane types
• 
  επίπεδο παραμέτρων r (λογιστικός χάρτης)
• 
  c επίπεδο παραμέτρων

Ο χώρος φάσεων ενός τετραγωνικού χάρτη ονομάζεται επίπεδο παραμέτρων. Εδώ:

${\displaystyle z_{0}=z_{cr}}$ είναι σταθερός και${\displaystyle c}$ μεταβλητός.

Δεν υπάρχει δυναμική εδώ. Είναι μόνο ένα σύνολο τιμών παραμέτρων. Δεν υπάρχουν τροχιές στο επίπεδο των παραμέτρων.

Το επίπεδο παραμέτρων αποτελείται από:

• Το σύνολο Μάντελμπροτ
  • Ο τόπος διακλάδωσης = το όριο του συνόλου Μάντελμπροτ με
    • σημεία ρίζας
  • Περιορισμένες υπερβολικές συνιστώσες του συνόλου Μάντελμπροτ = εσωτερικό του συνόλου Μάντελμπροτ^[20]

με εσωτερικές ακτίνες

• εξωτερικό του συνόλου Μάντελμπροτ με
  • εξωτερικές ακτίνες
  • ισοδυναμικές γραμμές

Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί υπότυποι του επιπέδου παραμέτρων.^[21][22]

Χάρτης πολλαπλασιαστών

Δείτε επίσης :

• Χάρτης Μπότσερ που απεικονίζει το εξωτερικό του συνόλου Μάντελμπροτ στο εξωτερικό του μοναδιαίου δίσκου
• πολλαπλασιαστικός χάρτης που αντιστοιχίζει το εσωτερικό της υπερβολικής συνιστώσας του συνόλου Μάντελμπροτ στο εσωτερικό του μοναδιαίου δίσκου

2Δ Δυναμικό επίπεδο

"Το πολυώνυμο Pc απεικονίζει κάθε δυναμική ακτίνα σε μια άλλη ακτίνα που διπλασιάζει τη γωνία (την οποία μετράμε σε πλήρεις στροφές, δηλαδή 0 = 1 = 2π rad = 360°), και οι δυναμικές ακτίνες οποιουδήποτε πολυωνύμου "μοιάζουν με ευθείες ακτίνες" κοντά στο άπειρο. Αυτό μας επιτρέπει να μελετήσουμε συνδυαστικά τα σύνολα Μάντελμπροτ και Julia, αντικαθιστώντας το δυναμικό επίπεδο με τον μοναδιαίο κύκλο, τις ακτίνες με γωνίες και το τετραγωνικό πολυώνυμο με τον χάρτη διπλασιασμού modulo one". Virpi Kauko^[23]

Στο δυναμικό επίπεδο μπορεί κανείς να βρει:

• Το σύνολο Julia
• Το Γεμισμένο σύνολο Julia
• Το σύνολο Φατού
• Τροχιές

Το δυναμικό επίπεδο αποτελείται από:

• σύνολο Φατού
• Σύνολο Julia

Εδώ, ${\displaystyle c}$ είναι μια σταθερά και ${\displaystyle z}$ είναι μια μεταβλητή.

Το δισδιάστατο δυναμικό επίπεδο μπορεί να αντιμετωπιστεί ως τομή Πουανκαρέ του τρισδιάστατου χώρου του συνεχούς δυναμικού συστήματος.^[24][25]

Τα δυναμικά z-επίπεδα μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες:

• ${\displaystyle f_{0}}$ επίπεδο για ${\displaystyle c=0}$ (βλ. μιγαδικός χάρτης τετραγωνισμού)
• ${\displaystyle f_{c}}$ επίπεδα (όλα τα άλλα επίπεδα για ${\displaystyle c\neq 0}$)

Σφαίρα Ρίμαν

Το εκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο συν ένα σημείο στο άπειρο

• η σφαίρα Ρίμαν

Παράγωγα

Πρώτη παράγωγος ως προς c

Στο επίπεδο των παραμέτρων:

• ${\displaystyle c}$ είναι μια μεταβλητή
• ${\displaystyle z_{0}=0}$ είναι σταθερά

Η πρώτη παράγωγος του ${\displaystyle f_{c}^{n}(z_{0})}$ ως προς c είναι

${\displaystyle z_{n}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{n}(z_{0}).}$

Αυτή η παράγωγος μπορεί να βρεθεί με επανάληψη ξεκινώντας με

${\displaystyle z_{0}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{0}(z_{0})=1}$

και στη συνέχεια αντικαθιστώντας σε κάθε διαδοχικό βήμα

${\displaystyle z_{n+1}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{n+1}(z_{0})=2\cdot {}f_{c}^{n}(z)\cdot {\frac {d}{dc}}f_{c}^{n}(z_{0})+1=2\cdot z_{n}\cdot z_{n}'+1.}$

Αυτό μπορεί εύκολα να επαληθευτεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας για την παράγωγο.

Αυτή η παράγωγος χρησιμοποιείται στη μέθοδο εκτίμησης απόστασης για τη σχεδίαση ενός συνόλου Μάντελμπροτ.

Πρώτη παράγωγος ως προς z

Στο δυναμικό επίπεδο:

• ${\displaystyle z}$ είναι μια μεταβλητή,
• ${\displaystyle c}$ είναι μια σταθερά.

Σε ένα σταθερό σημείο ${\displaystyle z_{0}}$,

${\displaystyle f_{c}'(z_{0})={\frac {d}{dz}}f_{c}(z_{0})=2z_{0}.}$

Σε ένα' περιοδικό σημείο z₀ περιόδου p η πρώτη παράγωγος μιας συνάρτησης

${\displaystyle (f_{c}^{p})'(z_{0})={\frac {d}{dz}}f_{c}^{p}(z_{0})=\prod _{i=0}^{p-1}f_{c}'(z_{i})=2^{p}\prod _{i=0}^{p-1}z_{i}=\lambda }$

συχνά παριστάνεται με ${\displaystyle \lambda }$ και αναφέρεται ως πολλαπλασιαστής ή χαρακτηριστικός αριθμός Lyapunov. Ο λογάριθμός του είναι γνωστός ως εκθέτης Λιαπουνόφ. Η απόλυτη τιμή του πολλαπλασιαστή χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της σταθερότητας των περιοδικών (επίσης σταθερών) σημείων.

Σε ένα μη περιοδικό σημείο, η παράγωγος, που συμβολίζεται με ${\displaystyle z'_{n}}$, μπορεί να βρεθεί με επανάληψη ξεκινώντας με

${\displaystyle z'_{0}=1,}$

και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας

${\displaystyle z'_{n}=2*z_{n-1}*z'_{n-1}.}$

Αυτή η παράγωγος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της εξωτερικής απόστασης από το σύνολο Julia.

Παράγωγος Σβάρτζιαν

Η παράγωγος Σβάρτζιαν (SD για συντομία) της f είναι:^[26]

${\displaystyle (Sf)(z)={\frac {f'''(z)}{f'(z)}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)^{2}.}$

Δημοσιεύσεις

• Monica Nevins and Thomas D. Rogers, "Quadratic maps as dynamical systems on the p-adic numbers^{[νεκρός σύνδεσμος]}"
• Wolf Jung : Homeomorphisms on Edges of the Mandelbrot Set. Ph.D. thesis of 2002
• More about Quadratic Maps : Quadratic Map

Δείτε επίσης

• Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
• Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
• Νιφάδα του Κοχ
• Καμπύλη Χίλμπερτ
• Καμπύλη του δράκου
• Σπόγγος του Μένγκερ

• Σύνολο Μάντελμπροτ
• Σύνολο Julia
• Σύνολο Κάντορ
• Οικοδομήσιμο Σύμπαν

Παραπομπές

1. Poirier, Alfredo (1993). «On postcritically finite polynomials, part 1: Critical portraits». . 

2. «Michael Yampolsky, Saeed Zakeri : Mating Siegel quadratic polynomials» (PDF). 
3. Bodil Branner: Holomorphic dynamical systems in the complex plane. Mat-Report No 1996-42. Technical University of Denmark
4. Dynamical Systems and Small Divisors, Editors: Stefano Marmi, Jean-Christophe Yoccoz, page 46
5. «Show that the familiar logistic map $x_{n+1} = sx_n(1 - x_n)$, can be recoded into the form $x_{n+1} = x_n^2 + c$». Mathematics Stack Exchange. 
6. Yunping Jing : Local connectivity of the Mandelbrot set at certain infinitely renormalizable points Complex Dynamics and Related Topics, New Studies in Advanced Mathematics, 2004, The International Press, 236-264
7. Weisstein, Eric W. «Quadratic Map». mathworld.wolfram.com. 
8. Java program by Dieter Röß showing result of changing initial point of Mandelbrot iterations Αρχειοθετήθηκε 26 April 2012 στο Wayback Machine.
9. «Convex Julia sets». MathOverflow. 
10. Richards, Trevor (11 May 2015). «Conformal equivalence of analytic functions on compact sets». . 

11. M. Romera Αρχειοθετήθηκε 22 June 2008 στο Wayback Machine., G. Pastor Αρχειοθετήθηκε 1 May 2008 στο Wayback Machine., and F. Montoya : Multifurcations in nonhyperbolic fixed points of the Mandelbrot map. Αρχειοθετήθηκε 11 December 2009 στο Wayback Machine. Fractalia Αρχειοθετήθηκε 19 September 2008 στο Wayback Machine. 6, No. 21, 10-12 (1997)
12. Burns A M : Plotting the Escape: An Animation of Parabolic Bifurcations in the Mandelbrot Set. Mathematics Magazine, Vol. 75, No. 2 (Apr., 2002), pp. 104–116
13. «Khan Academy». Khan Academy. 
14. Ο δρόμος προς το χάος είναι γεμάτος με πολυωνυμικές καμπύλες των Richard D. Neidinger και R. John Annen III. American Mathematical Monthly, Vol. 103, No. 8, October 1996, pp. 640-653
15. Hao, Bailin (1989). Elementary Symbolic Dynamics and Chaos in Dissipative Systems. World Scientific. ISBN 9971-5-0682-3. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 5 Δεκεμβρίου 2009. Ανακτήθηκε στις 2 Δεκεμβρίου 2009. 
16. «M. Romera, G. Pastor and F. Montoya, "Misiurewicz points in one-dimensional quadratic maps", Physica A, 232 (1996), 517-535. Preprint» (PDF). Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 2 Οκτωβρίου 2006. 
17. «Julia-Mandelbrot Space, Mu-Ency at MROB». www.mrob.com. 
18. Carleson, Lennart, Gamelin, Theodore W.: Complex Dynamics Series: Universitext, Subseries: Universitext: Tracts in Mathematics, 1st ed. 1993. Corr. 2nd printing, 1996, IX, 192 p. 28 illus., (ISBN 978-0-387-97942-7)
19. Holomorphic motions and puzzels by P Roesch
20. Rempe, Lasse; Schleicher, Dierk (12 May 2008). «Bifurcation Loci of Exponential Maps and Quadratic Polynomials: Local Connectivity, Triviality of Fibers, and Density of Hyperbolicity». . 

21. «Julia and Mandelbrot sets, alternate planes». aleph0.clarku.edu. 
22. «Exponential Map, Mu-Ency at MROB». mrob.com. 
23. Trees of visible components in the Mandelbrot set by Virpi K a u k o , FUNDAM E N TA MATHEMATICAE 164 (2000)
24. «The Mandelbrot Set is named after mathematician Benoit B». www.sgtnd.narod.ru. 
25. Moehlis, Kresimir Josic, Eric T. Shea-Brown (2006) Periodic orbit. Scholarpedia,
26. «Lecture Notes | Mathematical Exposition | Mathematics». MIT OpenCourseWare.