Κρυστάλλινη βάση

Δεν πρέπει να συγχέεται με το άλλο θέμα: Κρύσταλλος (μαθηματικά)

Μια κρυσταλλική βάση^[1] για μια απεικόνιση μιας κβαντικής ομάδας σε ένα διανυσματικό χώρο ${\displaystyle \mathbb {Q} (v)}$ δεν είναι μια βάση αυτού του διανυσματικού χώρου αλλά μάλλον μια ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-βάση του ${\displaystyle L/vL}$ όπου ${\displaystyle L}$ είναι ένα ${\displaystyle \mathbb {Q} (v)}$-πλέγμα σε αυτόν τον διανυσματικό χώρο. Οι κρυσταλλικές βάσεις εμφανίστηκαν στην εργασία του Κασιβάρα ^[2](Kashiwara (1990)) και επίσης στην εργασία του Λούστιγκ^[3] (Lusztig (1990). Μπορούν να θεωρηθούν ως εξειδικεύσεις ως ${\displaystyle v\to 0}$ της κανονικής βάσης^[4] που ορίζεται από τον Λούστιγκ (Lusztig (1990)).

Ορισμός

Ως συνέπεια των σχέσεων ορισμού της, η κβαντική ομάδα ${\displaystyle U_{q}(G)}$ μπορεί να θεωρηθεί ως μια άλγεβρα Χοπφ πάνω στο σώμα όλων των ρητών συναρτήσεων ενός απροσδιόριστου q πάνω στο ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, που συμβολίζεται ${\displaystyle \mathbb {Q} (q)}$.^[5]

Για απλή ρίζα ${\displaystyle \alpha _{i}}$ και μη αρνητικό ακέραιο ${\displaystyle n}$, ορίζουμε

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{i}^{(0)}=f_{i}^{(0)}&=1\\e_{i}^{(n)}&={\frac {e_{i}^{n}}{[n]_{q_{i}}!}}\\[6pt]f_{i}^{(n)}&={\frac {f_{i}^{n}}{[n]_{q_{i}}!}}\end{aligned}}}$

Σε μια ολοκληρώσιμη module ${\displaystyle M}$, και για βάρος ${\displaystyle \lambda }$, ένα διάνυσμα ${\displaystyle u\in M_{\lambda }}$ (δηλαδή ένα διάνυσμα ${\displaystyle u}$ στο ${\displaystyle M}$ με βάρος ${\displaystyle \lambda }$) μπορεί να αναλυθεί μοναδικά στα αθροίσματα

${\displaystyle u=\sum _{n=0}^{\infty }f_{i}^{(n)}u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }e_{i}^{(n)}v_{n},}$

όπου ${\displaystyle u_{n}\in \ker(e_{i})\cap M_{\lambda +n\alpha _{i}}}$, ${\displaystyle v_{n}\in \ker(f_{i})\cap M_{\lambda -n\alpha _{i}}}$, ${\displaystyle u_{n}\neq 0}$ μόνο αν ${\displaystyle n+{\frac {2(\lambda ,\alpha _{i})}{(\alpha _{i},\alpha _{i})}}\geq 0}$, και ${\displaystyle v_{n}\neq 0}$ μόνο αν ${\displaystyle n-{\frac {2(\lambda ,\alpha _{i})}{(\alpha _{i},\alpha _{i})}}\geq 0}$.

Γραμμικές απεικονίσεις ${\displaystyle {\tilde {e}}_{i},{\tilde {f}}_{i}:M\to M}$ μπορούν να οριστούν στο ${\displaystyle M_{\lambda }}$ ως εξής

${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}u=\sum _{n=1}^{\infty }f_{i}^{(n-1)}u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }e_{i}^{(n+1)}v_{n},}$

${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}u=\sum _{n=0}^{\infty }f_{i}^{(n+1)}u_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }e_{i}^{(n-1)}v_{n}.}$

Έστω ${\displaystyle A}$ η ακέραια περιοχή όλων των ρητών συναρτήσεων στο ${\displaystyle \mathbb {Q} (q)}$ που είναι κανονικές στο ${\displaystyle q=0}$ (δηλ. μια ρητή συνάρτηση ${\displaystyle f(q)}$ είναι στοιχείο του ${\displaystyle A}$ αν και μόνο αν υπάρχουν πολυώνυμα ${\displaystyle g(q)}$ και ${\displaystyle h(q)}$ στον πολυωνυμικό δακτύλιο ${\displaystyle \mathbb {Q} [q]}$ τέτοια ώστε ${\displaystyle h(0)\neq 0}$, και ${\displaystyle f(q)=g(q)/h(q)}$).

Μια κρυσταλλική βάση για το ${\displaystyle M}$ είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος ${\displaystyle (L,B)}$, τέτοιο ώστε

• <${\displaystyle L}$ είναι ένα ελεύθερο ${\displaystyle A}$-υπο module του ${\displaystyle M}$ τέτοιο ώστε ${\displaystyle M=\mathbb {Q} (q)\otimes _{A}L;}$
• ${\displaystyle B}$ είναι μια ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-βάση του διανυσματικού χώρου ${\displaystyle L/qL}$ πάνω από ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$
• ${\displaystyle L=\oplus _{\lambda }L_{\lambda }}$ και ${\displaystyle B=\sqcup _{\lambda }B_{\lambda }}$, όπου ${\displaystyle L_{\lambda }=L\cap M_{\lambda }}$ και ${\displaystyle B_{\lambda }=B\cap (L_{\lambda }/qL_{\lambda }),}$
• ${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}L\subset L}$ και ${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}L\subset L{\text{ για όλα τα }}i,}$
• ${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}B\subset B\cup \{0\}}$ και ${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}B\subset B\cup \{0\}{\text{ για όλα τα }}i,}$
• ${\displaystyle {\text{για όλα τα }}b\in B{\text{ και }}b'\in B,{\text{ και για όλα τα }}i,\quad {\tilde {e}}_{i}b=b'{\text{ εάν και μόνο εάν }}{\tilde {f}}_{i}b'=b.}$

Για να το θέσουμε αυτό σε ένα πιο ανεπίσημο πλαίσιο, οι δράσεις των ${\displaystyle e_{i}f_{i}}$ και ${\displaystyle f_{i}e_{i}}$ είναι γενικά μοναδικές στο ${\displaystyle q=0}$ σε ένα ολοκληρώσιμο module ${\displaystyle M}$. Οι γραμμικές απεικονίσεις ${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$ και ${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$ στo module εισάγονται έτσι ώστε οι δράσεις των ${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}{\tilde {f}}_{i}}$ και ${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}{\tilde {e}}_{i}}$ να είναι κανονικές σε ${\displaystyle q=0}$ στo module. Υπάρχει μια ${\displaystyle \mathbb {Q} (q)}$-βάση διανυσμάτων βάρους ${\displaystyle {\tilde {B}}}$ για το ${\displaystyle M}$, ως προς την οποία οι δράσεις των ${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$ και ${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$ είναι κανονικές στο ${\displaystyle q=0}$ για όλα τα i. To module τότε περιορίζεται στο ελεύθερο ${\displaystyle A}$-σύνολο που παράγεται από τη βάση και τα διανύσματα της βάσης, το ${\displaystyle A}$-υπο module και οι δράσεις των ${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$ και ${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$ αξιολογούνται στο ${\displaystyle q=0}$. Επιπλέον, η βάση μπορεί να επιλεγεί έτσι ώστε στο ${\displaystyle q=0}$, για όλα τα ${\displaystyle i}$, τα ${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$ και ${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$ αναπαρίστανται με αμοιβαίες μεταθέσεις και αντιστοιχούν διανύσματα βάσης σε διανύσματα βάσης ή 0.

Μια κρυσταλλική βάση μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα κατευθυνόμενο γράφημα με επισημασμένες ακμές. Κάθε κορυφή του γραφήματος αντιπροσωπεύει ένα στοιχείο της ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-βάσης ${\displaystyle B}$ της ${\displaystyle L/qL}$, και μια κατευθυνόμενη ακμή, που επισημαίνεται με i και κατευθύνεται από την κορυφή ${\displaystyle v_{1}}$ στην κορυφή ${\displaystyle v_{2}}$, αντιπροσωπεύει ότι ${\displaystyle b_{2}={\tilde {f}}_{i}b_{1}}$ (και, ισοδύναμα, ότι ${\displaystyle b_{1}={\tilde {e}}_{i}b_{2}}$), όπου ${\displaystyle b_{1}}$ είναι το στοιχείο βάσης που αντιπροσωπεύεται από την ${\displaystyle v_{1}}$, και ${\displaystyle b_{2}}$ είναι το στοιχείο βάσης που αντιπροσωπεύεται από την ${\displaystyle v_{2}}$. Το γράφημα καθορίζει πλήρως τις δράσεις των ${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$ και ${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$ στο ${\displaystyle q=0}$. Αν ένα ολοκληρώσιμο module έχει μια κρυσταλλική βάση, τότε το module είναι μη αναγώγιμο αν και μόνο αν το γράφημα που αναπαριστά την κρυσταλλική βάση είναι συνδεδεμένο (ένα γράφημα ονομάζεται "συνδεδεμένο" αν το σύνολο των κορυφών δεν μπορεί να χωριστεί στην ένωση μη τετριμμένων διαχωρισμένων υποσυνόλων ${\displaystyle V_{1}}$ και ${\displaystyle V_{2}}$ έτσι ώστε να μην υπάρχουν ακμές που να συνδέουν οποιαδήποτε κορυφή στο ${\displaystyle V_{1}}$ με οποιαδήποτε κορυφή στο ${\displaystyle V_{2}}$).

Για κάθε ολοκληρώσιμο module (πρότυπο) με κρυσταλλική βάση, το φάσμα βάρους για την κρυσταλλική βάση είναι το ίδιο με το φάσμα βάρους για το module, και επομένως το φάσμα βάρους για την κρυσταλλική βάση είναι το ίδιο με το φάσμα βάρους για το αντίστοιχο module της κατάλληλης άλγεβρας Κακ-Μούντι. Οι πολλαπλότητες των βαρών στην κρυσταλλική βάση είναι επίσης ίδιες με τις πολλαπλότητές τους στον αντίστοιχο module της κατάλληλης άλγεβρας Κακ-Μούντι.

Είναι ένα θεώρημα του Κασιβάρα ότι κάθε ολοκληρώσιμο module υψηλότερων βαρών έχει μια κρυσταλλική βάση. Ομοίως, κάθε ολοκληρώσιμη μονάδα μικρότερου βάρους έχει κρυσταλλική βάση.

Τανυστικά παράγωγα κρυστάλλινων βάσεων

Έστω ${\displaystyle M}$ ένα ολοκληρώσιμο module με κρυσταλλική βάση ${\displaystyle (L,B)}$ και ${\displaystyle M'}$ ένα ολοκληρώσιμο module με κρυσταλλική βάση ${\displaystyle (L',B')}$. Για κρυσταλλικές βάσεις, το συμπαράγωγο ${\displaystyle \Delta }$, που δίνεται από τη σχέση

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (k_{\lambda })&=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }\\\Delta (e_{i})&=e_{i}\otimes k_{i}^{-1}+1\otimes e_{i}\\\Delta (f_{i})&=f_{i}\otimes 1+k_{i}\otimes f_{i}\end{aligned}}}$

υιοθετείται. To ολοκληρώσιμo module ${\displaystyle M\otimes _{\mathbb {Q} (q)}M'}$ έχει κρυσταλλική βάση ${\displaystyle (L\otimes _{A}L',B\otimes B')}$, όπου ${\displaystyle B\otimes B'=\left\{b\otimes _{\mathbb {Q} }b':b\in B,\ b'\in B'\right\}}$. Για ένα διάνυσμα βάσης ${\displaystyle b\in B}$, ορίζουμε

${\displaystyle \varepsilon _{i}(b)=\max \left\{n\geq 0:{\tilde {e}}_{i}^{n}b\neq 0\right\}}$

${\displaystyle \varphi _{i}(b)=\max \left\{n\geq 0:{\tilde {f}}_{i}^{n}b\neq 0\right\}}$

Οι δράσεις των ${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$ και ${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$ στο ${\displaystyle b\otimes b'}$ δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {e}}_{i}(b\otimes b')&={\begin{cases}{\tilde {e}}_{i}b\otimes b'&\varphi _{i}(b)\geq \varepsilon _{i}(b')\\b\otimes {\tilde {e}}_{i}b'&\varphi _{i}(b)<\varepsilon _{i}(b')\end{cases}}\\{\tilde {f}}_{i}(b\otimes b')&={\begin{cases}{\tilde {f}}_{i}b\otimes b'&\varphi _{i}(b)>\varepsilon _{i}(b')\\b\otimes {\tilde {f}}_{i}b'&\varphi _{i}(b)\leq \varepsilon _{i}(b')\end{cases}}\end{aligned}}}$

Η ανάλυση του γινομένου δύο ολοκληρώσιμων modules (προτύπων) υψηλότερου βάρους σε μη αναγώγιμοι υπο modules προσδιορίζεται από την διάσπαση του γραφήματος της κρυσταλλικής βάσης στις συνδεδεμένες συνιστώσες του (δηλαδή προσδιορίζονται τα υψηλότερα βάρη των υπο modules και η πολλαπλότητα κάθε υψηλότερου βάρους).

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ
• Τοπολογία
• Ακέραια περιοχή
• Γράφος
• Αλεξάντερ Γκρότεντικ

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Andreas Gathmann - Algebraic Geometry (SS 2014)
• Galois Groups and Fundamental Groups
• Cohomological Theory of Crystals Over Function Fields
• Crystal Bases: Representations And Combinatorics
• Recent Developments in Quantum Affine Algebras and Related Topics
• Introduction to Quantum Groups and Crystal Bases
• Abelian Varieties and Number Theory
• p-Adic Automorphic Forms on Shimura Varieties

Δημοσιεύσεις

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 20. doi:10.1007/bf02684747. MR 0173675.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 32. doi:10.1007/bf02732123. MR 0238860.
• Bombieri, Enrico· Gubler, Walter (2006). Heights in Diophantine Geometry. New Mathematical Monographs. 4. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034. 
• Hindry, Marc· Silverman, Joseph H. (2000). Diophantine Geometry: An Introduction. Graduate Texts in Mathematics. 201. ISBN 0-387-98981-1. Zbl 0948.11023. 
• Ogus, Arthur (1 December 1984). «F-isocrystals and de Rham cohomology II—Convergent isocrystals». Duke Mathematical Journal 51 (4). doi:10.1215/S0012-7094-84-05136-6. 
• Berthelot, Pierre (1974), Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p>0, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 407, 407, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0068636, ISBN 978-3-540-06852-5 
• Berthelot, Pierre; Ogus, Arthur (1978), Notes on crystalline cohomology, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08218-9 
• Berthelot, P.; Ogus, A. (June 1983). «F-isocrystals and de Rham cohomology. I». Inventiones Mathematicae 72 (2): 159–199. doi:10.1007/BF01389319. 
• Chambert-Loir, Antoine (1998), «Cohomologie cristalline: un survol», Expositiones Mathematicae 16 (4): 333–382, ISSN 0723-0869, http://perso.univ-rennes1.fr/antoine.chambert-loir/publications 
• Grothendieck, Alexander (1966a), «On the de Rham cohomology of algebraic varieties», Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques 29 (29): 95–103, doi:10.1007/BF02684807, ISSN 0073-8301, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1966__29__95_0  (letter to Atiyah, Oct. 14 1963)
• Grothendieck, Alexander (1966b), Letter to J. Tate, https://agrothendieck.github.io/divers/LGT66scan.pdf 
• Jantzen, Jens Carsten (1996), Lectures on quantum groups, Graduate Studies in Mathematic, 6, Providence, R.I.: :American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0478-0, https://books.google.com/books?id=uOGqPjjVt0AC 
• Kashiwara, Masaki (1990), «Crystalizing the q-analogue of universal enveloping algebras», Communications in Mathematical Physics 133 (2): 249–260, doi:10.1007/bf02097367, ISSN 0010-3616, https://projecteuclid.org/journals/communications-in-mathematical-physics/volume-133/issue-2/Crystalizing-the-q-analogue-of-universal-enveloping-algebras/cmp/1104201397.full 
• Lusztig, G. (1990), «Canonical bases arising from quantized enveloping algebras», Journal of the American Mathematical Society 3 (2): 447–498, doi:10.2307/1990961, ISSN 0894-0347 

Παραπομπές

1. «crystal basis in nLab». ncatlab.org. Ανακτήθηκε στις 3 Ιουλίου 2024. 
2. «Masaki Kashiwara in nLab». ncatlab.org (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 3 Ιουλίου 2024. 
3. «George Lusztig in nLab». ncatlab.org (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 3 Ιουλίου 2024. 
4. Lusztig, G. (1990). «Canonical bases arising from quantized enveloping algebras» (στα αγγλικά). Journal of the American Mathematical Society 3 (2): 447–498. doi:10.1090/S0894-0347-1990-1035415-6. ISSN 0894-0347. https://www.ams.org/jams/1990-03-02/S0894-0347-1990-1035415-6/. 
5. Bump, Daniel· Schilling, Anne (17 Ιανουαρίου 2017). Crystal Bases: Representations And Combinatorics. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4733-46-5.