Κλίση συνάρτησης

Η γενική διατύπωση γραμμικών συναρτήσεων είναι ${\displaystyle g(x)=mx+b}$. Η κλίση μιας γραμμικής συνάρτησης (δηλ. μιας ευθείας) είναι

Η κλίση μιας γραμμικής συνάρτησης.

${\displaystyle m={\frac {g(x_{2})-g(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}}$

για δύο οποιαδήποτε σημεία ${\displaystyle (x_{1},\,g(x_{1})\,),(x_{2},\,g(x_{2})\,)}$ , όταν ${\displaystyle x_{1}}$ διάφορο ${\displaystyle x_{2}}$ .Αν ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$ Τότε ΔΕΝ ορίζεται κλίση ευθείας.

Η κλίση μιας μη γραμμικής συνάρτησης.

Σε μη γραμμικές συναρτήσεις, π.χ. καμπύλες στο δισδιάστατο χώρο (ως παραστατική περίπτωση) η κλίση ποικίλλει. Ένας τρόπος για να οριστεί η κλίση μιας (μη γραμμικής) συνάρτησης ${\displaystyle \,f(x)}$ σε κάποιο σημείο ${\displaystyle \,x_{1}}$ είναι να ταυτιστεί η κλίση της συνάρτησης στο σημείο ${\displaystyle (x_{1},\,f(x_{1}))}$ με την κλίση της εφαπτομένης που έρχεται σε επαφή με την συνάρτηση στο συγκεκριμένο σημείο. Η επόμενη ερώτηση είναι λοιπόν πώς να υπολογιστεί η κλίση της εφαπτομένης. Είναι εύκολο να κατανοηθεί ότι αν επιλεχτεί ένα σημείο ${\displaystyle \,x_{2}}$ κοντά στο ${\displaystyle \,x_{1}}$ η τέμνουσα που διέρχεται από τα σημεία ${\displaystyle (x_{1},\,f(x_{1}))}$ και ${\displaystyle (x_{2},\,f(x_{2}))}$ έχει περίπου την ίδια κλίση με την εφαπτόμενη. Η κλίση της τέμνουσας είναι

${\displaystyle {\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}}$

Το παραπάνω κλάσμα ονομάζεται μέσος ρυθμός μεταβολής. Όσο πλησιέστερα επιλεχτεί το σημείο ${\displaystyle \,x_{2}}$ στο σημείο ${\displaystyle \,x_{1}}$, τόσο καλύτερη είναι η προσέγγιση της κλίσης της εφαπτομένης. Η άπειρη προσέγγιση του σημείου ${\displaystyle \,x_{2}}$ στο σημείο ${\displaystyle \,x_{1}}$ και μαζί της ο υπολογισμός της κλίσης της εφαπτομένης εκφράζεται στα μαθηματικά ως ακολούθως

${\displaystyle f'(x_{1})=\lim _{x_{2}\rightarrow x_{1}}{\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}}$

${\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x_{1}+h)-f(x_{1})}{h}}}$

Η τιμή ${\displaystyle \,f'(x_{1})}$ ονομάζεται παράγωγος της συνάρτησης ${\displaystyle \,f(x)}$ στο σημείο ${\displaystyle \,x_{1}}$. Επίσης μπορεί να ειπωθεί πως η παράγωγος είναι το όριο του μέσου ρυθμού μεταβολής εάν το ${\displaystyle \,x_{2}}$ τείνει στο ${\displaystyle \,x_{1}}$. Αν αυτό το όριο υπάρχει τότε η συνάρτηση ${\displaystyle \,f(x)}$ ονομάζεται διαφορίσιμη, αν δεν υπάρχει το όριο , μη διαφορίσιμη.