Κερασφόρος σφαίρα του Αλεξάντερ

Κερασφόρος σφαίρα του Αλεξάντερ^[1]

Η κερασφόρος σφαίρα του Αλεξάντερ είναι ένα παθολογικό αντικείμενο στην τοπολογία που ανακαλύφθηκε από τον Τζέιμς Γουόντελ Αλεξάντερ Β'^[2] (1924).

Κατασκευή

Διάγραμμα των πρώτων επαναληπτικών βημάτων στην κατασκευή της κερασφόρου σφαίρας του Αλεξάντερ, από την αρχική εργασία του Αλεξάντερ το 1924

Κινούμενη κατασκευή της σφαίρας του Αλεξάντερ.

Διάγραμμα των πρώτων επαναληπτικών βημάτων στην κατασκευή της κερασφόρου σφαίρας του Αλεξάντερ, από την αρχική εργασία του Αλεξάντερ το 1924

Η κερασφόρος σφαίρα του Αλεξάντερ είναι η συγκεκριμένη ενσωμάτωση μιας σφαίρας στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο που προκύπτει από την ακόλουθη κατασκευή, ξεκινώντας από έναν τυπικό τόρο:^[3][4]

1. Αφαιρούμε μια ακτινωτή φέτα του τόρου.
2. Συνδέουμε έναν τυπικό διάτρητο τόρο σε κάθε πλευρά της τομής, διασυνδεδεμένο με τον τόρο της άλλης πλευράς.
3. Επαναλαμβάνουμε τα βήματα 1-2 στους δύο τόρους που μόλις προστέθηκαν μέχρι το άπειρο.

Λαμβάνοντας υπόψιν μόνο τα σημεία του τόρου που δεν απομακρύνονται σε μια δεδομένη χρονική στιγμή, προκύπτει μια ολοκλήρωση στη σφαίρα με ένα σύνολο Κάντορ λιγότερο. Η ολοκλήρωση αυτή επεκτείνεται σε ολόκληρη τη σφαίρα, αφού τα σημεία που προσεγγίζουν δύο διαφορετικά σημεία του συνόλου Κάντορ θα απέχουν τουλάχιστον μια σταθερή απόσταση μεταξύ τους στην κατασκευή.

Επίδραση της θεωρίας

Η κερασφόρος σφαίρα, με την εσωτερική της πλευρά, είναι μια τοπολογική μπάλα 3, η κερασφόρος μπάλα Alexander, και έτσι είναι απλά συνδεδεμένη, δηλαδή κάθε βρόχος μπορεί να συρρικνωθεί σε ένα σημείο παραμένοντας μέσα. Το εξωτερικό δεν είναι απλά συνδεδεμένο, σε αντίθεση με το εξωτερικό της συνήθους στρογγυλής σφαίρας- ένας βρόχος που συνδέει έναν τόρο στην παραπάνω κατασκευή δεν μπορεί να συρρικνωθεί σε ένα σημείο χωρίς να αγγίξει την κερασφόρα σφαίρα. Αυτό δείχνει ότι το θεώρημα του Τζόρνταν - Σένφλις δεν ισχύει στις τρεις διαστάσεις, όπως είχε αρχικά πιστέψει ο Αλεξάντερ^[5]. Ο Αλεξάντερ. απέδειξε επίσης ότι το θεώρημα ισχύει σε τρεις διαστάσεις για γραμμικές/ομαλές ενσωματώσεις κατά τεμάχια. Αυτό είναι ένα από τα πρώτα παραδείγματα στα οποία έγινε εμφανής η ανάγκη διάκρισης μεταξύ των κατηγοριών των τοπολογικών πολλαπλοτήτων, των διαφορίσιμων πολλαπλοτήτων και των γραμμικών πολλαπλοτήτων κατά τεμάχια.

Ας θεωρήσουμε τώρα την κερασφόρα σφαίρα του Αλεξάντερ ως ενσωμάτωση στην 3-σφαίρα, η οποία θεωρείται ως η συμπύκνωση ενός σημείου του 3-διάστατου ευκλείδειου χώρου R3. Το κλείσιμο της μη απλής συνδεδεμένης περιοχής ονομάζεται στερεά κερασφόρος σφαίρα Αλεξάντερ. Παρόλο που η στερεά κεράτινη σφαίρα δεν είναι πολλαπλότητα, ο R. H. Bing έδειξε ότι ο διπλασιασμός της (που είναι η 3-πολλαπλότητα που προκύπτει από την συγκόλληση δύο αντιγράφων της κεράτινης σφαίρας κατά μήκος των αντίστοιχων σημείων των ορίων τους) είναι στην πραγματικότητα η 3-σφαίρα^[6]. Αυτό έχει επίσης αποδειχθεί ότι είναι η 3-σφαίρα. Η συμπαγής κερασφόρος σφαίρα του Αλεξάντερ είναι ένα παράδειγμα τσαλακωμένου κύβου, δηλαδή ένα κλειστό συμπληρωματικό πεδίο της ενσωμάτωσης μιας 2-σφαίρας στην 3-σφαίρα.

Γενικεύσεις

Μπορεί να γενικεύσει κανείς την κατασκευή του Αλεξάντερ για να δημιουργήσει άλλες κερασφόρες σφαίρες αυξάνοντας τον αριθμό των κεράτων σε κάθε στάδιο της κατασκευής του Αλεξάντερ ή εξετάζοντας την ανάλογη κατασκευή σε υψηλότερες διαστάσεις.

Υπάρχουν και άλλες εντελώς διαφορετικές κατασκευές για την κατασκευή τέτοιων "άγριων" σφαιρών. Ένα άλλο παράδειγμα, που επίσης εφευρέθηκε από τον Αλεξάντερ, είναι η κεράτινη σφαίρα του Αντουάν, η οποία βασίζεται στο περιδέραιο του Αντουάν, μια παθολογική ενσωμάτωση του συνόλου Κάντορ στην 3-σφαίρα.

Δείτε επίσης

• Αναδρομή
• Σύνολο Μάντελμπροτ
• Σύνολο Julia
• Οικοδομήσιμο Σύμπαν

Παραπομπές

1. «Alexander horned sphere». www.scientificlib.com. Ανακτήθηκε στις 10 Σεπτεμβρίου 2023. 
2. «James W. Alexander II | Mathematician, Educator, Princeton | Britannica». www.britannica.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 9 Σεπτεμβρίου 2023. 
3. Hocking & Young 1988, σελίδες 175–176. Spivak 1999, σελ. 55
4. Gluchoff, Alan; Hartmann, Frederick (2000). «On a "Much Underestimated" Paper of Alexander». Archive for History of Exact Sciences 55 (1): 1–41. ISSN 0003-9519. https://www.jstor.org/stable/41134096. 
5. «PAW November 7, 2007: Features». www.princeton.edu. Ανακτήθηκε στις 10 Σεπτεμβρίου 2023. 
6. Bing, R. H. (1952), «A homeomorphism between the 3-sphere and the sum of two solid horned spheres», Annals of Mathematics, Second Series 56 (2): 354–362, doi:10.2307/1969804, ISSN 0003-486X 

Βιβλιογραφία

• Alexander, J. W. (1924), «An Example of a Simply Connected Surface Bounding a Region which is not Simply Connected», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America (National Academy of Sciences) 10 (1): 8–10, doi:10.1073/pnas.10.1.8, ISSN 0027-8424, PMID 16576780 
• Fuchs, Dmitry; Tabachnikov, Serge (2007), Mathematical Omnibus. 30 Lectures on Classical Mathematics, Providence, RI: American Mathematical Society, doi:10.1090/mbk/046, ISBN 978-0-8218-4316-1 
• Hatcher, Allen, Algebraic Topology, http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html
• Hocking, John Gilbert· Young, Gail Sellers (1988) [1961]. Topology. Dover. ISBN 0-486-65676-4. 
• Spivak, Michael (1999). A comprehensive introduction to differential geometry (Volume 1). Publish or Perish. ISBN 0-914098-70-5.