Ευτυχής αριθμός

Στα μαθηματικά, οι ευτυχείς αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί οι οποίοι μετά από μια συγκεκριμένη διαδικασία δείχνουν τον αριθμό 1. Η διαδικασία είναι η εξής: υψώνουμε τον αριθμό στο τετράγωνο, τον αντικαθιστούμε με το άθροισμα των τετραγώνων των ψηφίων του (στο δεκαδικό σύστημα) και επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία μέχρι οι πράξεις να δώσουν τον αριθμό 1.

Οι αριθμοί που μετά από αυτήν τη διαδικασία τελειώνουν σε 1, ονομάζονται ευτυχείς αριθμοί, ενώ εκείνοι που τελειώνουν σε κάποιον άλλον, ονομάζονται δυστυχείς. Oι δυστυχείς αριθμοί καταλήγουν πάντα στον αριθμό 4, ενώ ο ίδιος ο 4 οδηγεί σε βρόχο επαναλαμβανόμενων αριθμών που καταλήγει πάλι στο 4.^[1][2][3]

Παραδείγματα

Για τον αριθμό 7

7² = 49 (παίρνουμε το 4 και το 9 και τα υψώνουμε στο τετράγωνο)
4² + 9² = 16 + 81 = 97 (παίρνουμε το 9 και το 7 και τα υψώνουμε στο τετράγωνο)
9² + 7² = 81 + 49 = 130 (παίρνουμε το 1, το 3 και το 9 και τα υψώνουμε στο τετράγωνο)
1² + 3² + 0² = 1 + 9 + 0 = 10 (παίρνουμε το 1 και το 0 και τα υψώνουμε στο τετράγωνο)
1² + 0² = 1 (κατέληξε σε 1, αρά είναι ευτυχής)

Για τον αριθμό 19

1² + 9² = 82
8² + 2² = 64 + 4 = 68
6² + 8² = 36 + 64 = 100
1² + 0² + 0² = 1 + 0 + 0 = 1

Για τον αριθμό 131

1² + 3² + 1² = 1 + 9 + 1 = 11
1² + 1² = 1 + 1 = 2
2² = 4 (κατέληξε σε 4, άρα είναι δυστυχής)

Λίστα ευτυχών αριθμών

Οι 143 ευτυχείς αριθμοί από το 1 - 1.000 είναι:

1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376, 379, 383, 386, 391, 392, 397, 404, 409, 440, 446, 464, 469, 478, 487, 490, 496, 536, 556, 563, 565, 566, 608, 617, 622, 623, 632, 635, 637, 638, 644, 649, 653, 655, 656, 665, 671, 673, 680, 683, 694, 700, 709, 716, 736, 739, 748, 761, 763, 784, 790, 793, 802, 806, 818, 820, 833, 836, 847, 860, 863, 874, 881, 888, 899, 901, 904, 907, 910, 912, 913, 921, 923, 931, 932, 937, 940, 946, 964, 970, 973, 989, 998, 1000

Πρόγραμμα

Το ακόλουθο πρόγραμμα σε Python μας απαντάει αν ένας αριθμός είναι ευτυχής ή δυστυχής και τυπώνει την ακολουθία των αριθμών που συναντήσαμε:

def isHappy(num):
   while num != 1 and num != 4:
      # Αθροίζουμε τα τετράγωνα των ψηφίων του num.
      next_num = 0
      while num > 0:
         digit = num % 10 # Βρίσκουμε το τελευταίο ψηφίο του num.
         next_num += digit * digit
         num //= 10 # Αφαιρούμε το ψηφίο από το num.
      
      print(f" -> {next_num}")
      num = next_num
   
   return num == 1
   
# Παραδείγματα:
isHappy(7)
isHappy(131)

Και παρακάτω είναι ο ισοδύναμος αναδρομικός κώδικας:

def isHappyRec(num):
   print(f" -> {num}")
   if num == 1:
      return True
   if num == 4:
      return False
      
   # Αθροίζουμε τα τετράγωνα των ψηφίων του num.
   next_num = 0
   while num > 0:
      digit = num % 10 # Βρίσκουμε το τελευταίο ψηφίο του num.
      next_num += digit * digit
      num //= 10 # Αφαιρούμε το ψηφίο από το num.
   
   return isHappyRec(next_num)

Παραπομπές

1. Για την ακρίβεια ο κύκλος είναι ${\displaystyle 4\to 16\to 37\to 58\to 89\to 145\to 42\to 20\to 4}$.
2. «Ευτυχισμένοι αριθμοί, δυστυχισμένα νούμερα…». Allu Fun Marx: Αριστερά ...στη Blogoslovakia. 16 Ιανουαρίου 2007. https://afmarx.wordpress.com/2007/01/16/happy-numbers/. Ανακτήθηκε στις 22 Μαρτίου 2018. 
3. W., Weisstein, Eric. «Sad Number». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 22 Μαρτίου 2018.