Διακρίνουσα βάσης

Έστω ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\theta )}$ αριθμητικό σώμα βαθμού n και ${\displaystyle a_{1},..a_{n}}$ μια βάση αυτού ως ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ διανυσματικός χώρος. Ακόμα έστω ${\displaystyle r_{1},..,r_{n}r_{i}\neq r_{j}}$ οι ρίζες του ${\displaystyle Irr(\theta ,\mathbb {Q} )}$ στο ${\displaystyle \mathbb {C} }$ και ${\displaystyle \sigma _{i}:K\rightarrow \mathbb {C} }$ οι n διακεκριμένοι μονομορφισμοί από το Κ στο ${\displaystyle \mathbb {C} }$ όπου ${\displaystyle \sigma _{i}(\theta )=r_{i}}$. Κάνοντας χρήση των ${\displaystyle \sigma _{i}}$ σχηματίζουμε τον ακόλουθο πίνακα :

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\sigma _{1}(a_{1})&...&\sigma _{1}(a_{n})\\\sigma _{2}(a_{1})&...&\sigma _{2}(a_{n})\\...&...&...\\\sigma _{n}(a_{1})&...&\sigma _{n}(a_{n})\end{bmatrix}}}$

Ως διακρίνουσα της βάσης (Basis discriminant) ${\displaystyle a_{1},..a_{n}}$ του αριθμητικού σώματος Κ ορίζουμε το μιγαδικό αριθμό ${\displaystyle \Delta (a_{1},..,a_{n})=(det(A))^{2}}$.

Παραδείγματα

• Έστω ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ και η ${\displaystyle \{1,{\sqrt {2}}\}}$ μια βάση αυτού ως ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ διανυσματικού χώρου. Οι ρίζες του ${\displaystyle Irr({\sqrt {2}},\mathbb {Q} )=x^{2}-2}$ είναι οι ${\displaystyle \pm {\sqrt {2}}}$ οπότε οι δύο μονομορφισμοί από το ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ στο ${\displaystyle \mathbb {C} }$ είναι οι

${\displaystyle \sigma _{1}({\sqrt {2}})={\sqrt {2}}}$ και ${\displaystyle \sigma _{2}({\sqrt {2}})=-{\sqrt {2}}}$

οπότε είμαστε πλέον σε θέση να υπολογίσουμε την διακρίνουσα της βάσης ${\displaystyle \{1,{\sqrt {2}}\}}$ του αριθμητικού σώματος ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$. Έχουμε λοιπόν ότι ${\displaystyle \Delta _{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}(1,{\sqrt {2}})={\Big (}det{\begin{bmatrix}\sigma _{1}(1)&\sigma _{1}({\sqrt {2}})\\\sigma _{2}(1)&\sigma _{2}({\sqrt {2}})\end{bmatrix}}{\Big )}^{2}={\Big (}det{\begin{bmatrix}1&{\sqrt {2}}\\1&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\Big )}^{2}=(-2{\sqrt {2}})^{2}=8}$