Διαγώνια υπέρτερος πίνακας

Στα μαθηματικά, ένας τετραγωνικός πίνακας λέγεται ότι είναι διαγώνια υπέρτερος^[1] αν, για κάθε γραμμή του πίνακα, το μέγεθος της διαγώνιας καταχώρησης σε μια γραμμή είναι μεγαλύτερο ή ίσο με το άθροισμα των μεγεθών όλων των άλλων (εκτός διαγώνιων) καταχωρήσεων σε αυτή τη γραμμή. Πιο συγκεκριμένα, ο πίνακας ${\displaystyle A}$ είναι διαγώνια υπέρτερος αν

${\displaystyle |a_{ii}|\geq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|\ \ \forall \ i}$

όπου ${\displaystyle a_{ij}}$ δηλώνει την καταχώριση στην ${\displaystyle i}$th γραμμή και ${\displaystyle j}$th στήλη.

Αυτός ο ορισμός χρησιμοποιεί μια αδύναμη ανισότητα, και γι' αυτό μερικές φορές αποκαλείται αδύναμη διαγώνια υπεροχή. Εάν χρησιμοποιείται μια γνήσια ανισότητα (>), τότε ονομάζεται γνήσια διαγώνια υπεροχή . Ο ανεπιφύλακτος όρος διαγώνια υπεροχή μπορεί να σημαίνει τόσο την γνήσια όσο και την ασθενή διαγώνια υπεροχή , ανάλογα με τα δεδομένα.^[2]

Παραλλαγές

Ο ορισμός στην πρώτη παράγραφο αθροίζει τις καταχωρήσεις σε κάθε γραμμή. Ως εκ τούτου, μερικές φορές ονομάζεται διαγώνια υπεροχή γραμμή. Αν αλλάζουμε τον ορισμό ώστε να αθροίζει σε κάθε στήλη, αυτό ονομάζεται διαγώνια υπεροχή στήλη.

Κάθε γνήσιος διαγώνια υπέρτερος πίνακας είναι ένας τετριμμένος αδύναμος αλυσιδωτός διαγώνια υπέρτερος πίνακας. Οι ασθενώς αλυσιδωτά διαγώνια υπέρτεροι πίνακες είναι μη-ιδιάζοντες και περιλαμβάνουν την οικογένεια των μη αναγωγικά διαγώνια υπερτερούντων πινάκων. Πρόκειται για μη αναγώγιμους πίνακες που είναι αδύναμοι διαγώνια υπερτεροί, αλλά αυστηρά διαγώνια υπέρτεροι σε τουλάχιστον μία γραμμή.

Παραδείγματα

Ο πίνακας

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}3&-2&1\\1&3&2\\-1&2&4\end{bmatrix}}}$

είναι ασθενώς διαγώνια υπέρτερος διότι

${\displaystyle |a_{11}|\geq |a_{12}|+|a_{13}|}$   αφού   ${\displaystyle |+3|\geq |-2|+|+1|}$

${\displaystyle |a_{22}|\geq |a_{21}|+|a_{23}|}$   αφού   ${\displaystyle |3|\geq |+1|+|+2|}$

${\displaystyle |a_{33}|\geq |a_{31}|+|a_{32}|}$   αφού   ${\displaystyle |+4|\geq |-1|+|+2|}$.

Ο πίνακας

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}-2&2&1\\1&3&2\\1&-2&0\end{bmatrix}}}$

δεν είναι μη διαγώνια υπέρτερος διότι

${\displaystyle |b_{11}|<|b_{12}|+|b_{13}|}$   αφού   ${\displaystyle |-2|<|+2|+|+1|}$

${\displaystyle |b_{22}|\geq |b_{21}|+|b_{23}|}$   αφού   ${\displaystyle |+3|\geq |+1|+|+2|}$

${\displaystyle |b_{33}|<|b_{31}|+|b_{32}|}$   αφού   ${\displaystyle |+0|<|+1|+|-2|}$.

Δηλαδή, η πρώτη και η τρίτη σειρά αποτυγχάνουν να ικανοποιήσουν τη συνθήκη διαγώνιας υπεροχής.

Ο πίνακας

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}-4&2&1\\1&6&2\\1&-2&5\end{bmatrix}}}$

είναι γνήσια διαγώνια υπέρτερος επειδή

${\displaystyle |c_{11}|>|c_{12}|+|c_{13}|}$   αφού   ${\displaystyle |-4|>|+2|+|+1|}$

${\displaystyle |c_{22}|>|c_{21}|+|c_{23}|}$   αφού   ${\displaystyle |+6|>|+1|+|+2|}$

${\displaystyle |c_{33}|>|c_{31}|+|c_{32}|}$   αφού   ${\displaystyle |+5|>|+1|+|-2|}$.

Εφαρμογές και ιδιότητες

Τα ακόλουθα αποτελέσματα μπορούν να αποδειχθούν τετριμμένα από το θεώρημα κύκλου του Γκερσγκόριν. Το ίδιο το θεώρημα κύκλου του Γκερσγκόριν έχει μια πολύ σύντομη απόδειξη.

Ένας γνήσιος διαγώνια υπέρτερος πίνακας (ή ένας μη αναγωγικά διαγώνια υπέρτερος πίνακας^[3]) είναι Αντιστρέψιμος.

Ένας Ερμιτιανός διαγώνιος υπέρτερος πίνακας ${\displaystyle A}$ με πραγματικές μη αρνητικές διαγώνιες καταχωρήσεις είναι θετικά ημιτελής. Αυτό προκύπτει από τις ιδιοτιμές που είναι πραγματικές και από το θεώρημα κύκλου του Γκερσγκόριν. Εάν η απαίτηση συμμετρίας εξαλειφθεί, ένας τέτοιος πίνακας δεν είναι απαραίτητα θετικά ημιτελής. Παραδείγµατος χάριν, ας θεωρήσουµε

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-2&2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\2\\1\end{pmatrix}}<0.}$

Ωστόσο, τα πραγματικά μέρη των ιδιοτιμών του παραμένουν μη αρνητικά σύμφωνα με το θεώρημα κύκλου του Γκερσγκόριν.

Ομοίως, ένας ερμητικός αυστηρά διαγώνιος υπέρτερος πίνακας με πραγματικές θετικές διαγώνιες καταχωρήσεις είναι θετικά ορισμένος.

Για έναν αυστηρά διαγώνια υπέρτερο πίνακα με στήλες δεν είναι απαραίτητη η (μερική) περιστροφή κατά την εκτέλεση της απαλοιφής Γκάους (παραγοντοποίηση LU^[4]).

Οι μέθοδοι Γιακόμπι και Γκάους - Σάιντελ ^[5]για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος συγκλίνουν εάν ο πίνακας είναι αυστηρά (ή μη αναγωγικά) διαγώνιος.

Πολλοί πίνακες που εμφανίζονται στις μεθόδους πεπερασμένων στοιχείων είναι διαγώνια υπέρτεροι.

Μια μικρή παραλλαγή της ιδέας της διαγώνιας υπεροχής χρησιμοποιείται για να αποδειχθεί ότι η σύζευξη σε διαγράμματα χωρίς βρόχους στην άλγεβρα Τεμπέρλεϊ - Λιμπ είναι μη εκφυλισμένη^[6]. Για έναν πίνακα με πολυωνυμικές καταχωρήσεις, ένας λογικός ορισμός της διαγώνιας υπεροχής είναι εάν η υψηλότερη δύναμη του ${\displaystyle q}$ που εμφανίζεται σε κάθε γραμμή εμφανίζεται μόνο στη διαγώνιο. (Οι αξιολογήσεις ενός τέτοιου πίνακα σε μεγάλες τιμές του ${\displaystyle q}$ είναι διαγώνια κυρίαρχες με την παραπάνω έννοια).

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Belevitch V (1950). «Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony». Electrical Communication 27: 231–244. 
• Bareiss, E. H. (1969), «Numerical solution of linear equations with Toeplitz and vector Toeplitz matrices», Numerische Mathematik 13 (5): 404–424, doi:10.1007/BF02163269 
• Goldreich, O.; Tal, A. (2018), «Matrix rigidity of random Toeplitz matrices», Computational Complexity 27 (2): 305–350, doi:10.1007/s00037-016-0144-9 
• Diodorus Siculus, Bibliotheca Historica. Vol. 1–2. Immanel Bekker. Ludwig Dindorf. Friedrich Vogel. in aedibus B. G. Teubneri. Leipzig. 1888–1890. Greek text available at the Perseus Digital Library.
• O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, J. Z. Zhu : The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, Butterworth-Heinemann (2005).
• N. Ottosen, H. Petersson: Introduction to the Finite Element Method, Prentice-Hall (1992).
• Susanne C. Brenner, L. Ridgway Scott: The Mathematical Theory of Finite Element Methods, Springer-Verlag New York, ISBN 978-0-387-75933-3 (2008).
• Zohdi, T. I. (2018) A finite element primer for beginners-extended version including sample tests and projects. Second Edition https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-70428-9
• Perron, Oskar (1907), «Zur Theorie der Matrices», en:Mathematische Annalen 64 (2): 248–263, doi:10.1007/BF01449896, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/toc/?PID=PPN235181684_0064 
• Frobenius, Georg (May 1912), «Ueber Matrizen aus nicht negativen Elementen», Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften: 456–477 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Πραγματικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Μέγιστος κοινός διαιρέτης
• Υπολογιστική βιολογία
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Συμμετρικός πίνακας
• Παραμετρικές εξισώσεις
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
• Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές
• Μπεϋζιανή στατιστική
• Κυρτό πολύτοπο
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Exercises of Matrices and Linear Algebra
• Fourier Transforms: Approach to Scientific Principles
• Euclidean Distance Matrices and Their Applications in Rigidity Theory.
• Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
• Matrix Algebra: Exercises and Solutions.
• Matrix Diagonal Stability in Systems and Computation.
• Numerical Methods in Matrix Computations ....
• Lectures on the Combinatorics of Free Probability, Τόμος 13

Παραπομπές

1. Weisstein, Eric W. «Diagonally Dominant Matrix». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 4 Σεπτεμβρίου 2024. 
2. For instance, Horn and Johnson (1985, p. 349) use it to mean weak diagonal dominance.
3. Horn and Johnson, Thm 6.2.27.
4. «Παραγοντοποίηση LU : lu». www-fourier.ujf-grenoble.fr. Ανακτήθηκε στις 4 Σεπτεμβρίου 2024. 
5. Stewart, G. W. (15 Ιουνίου 1973). Introduction to Matrix Computations. Elsevier. ISBN 978-0-08-092614-8. 
6. K.H. Ko and L. Smolinski (1991). «A combinatorial matrix in 3-manifold theory». Pacific J. Math. 149: 319–336. 

• Golub, Gene H.· Van Loan, Charles F. (1996). Matrix Computations. ISBN 0-8018-5414-8. 
• Horn, Roger A.· Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis (Paperback έκδοση). Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2. 
• Najnudel, Joseph; Nikeghbali, Ashkan (2013), «The Distribution of Eigenvalues of Randomized Permutation Matrices», Annales de l'Institut Fourier 63 (3): 773–838, http://www.numdam.org/item/AIF_2013__63_3_773_0/