Αρχή του Χάμιλτον

Η αρχή του Χάμιλτον (Hamilton) είναι μία αρχή της φυσικής βάσει της οποίας τα φυσικά συστήματα συμπεριφέρονται έτσι ώστε το φυσικό μέγεθος που ονομάζεται δράση να στασιμοποιείται. Αυτή είναι μία αρχή η οποία φαίνεται να έχει γενική ισχύ στη φυσική και εφαρμόζεται σε διάφορα φυσικά συστήματα. Αρχικά, όμως, η αρχή αυτή εφαρμόστηκε σε κλασικά μηχανικά συστήματα.

Το φυσικό μέγεθος της δράσης

Η δράση (S) ενός συστήματος το οποίο βρισκόταν αρχικά στην κατάσταση Α και περιήλθε στην κατάσταση Β, είναι ένα φυσικό μέγεθος το οποίο ορίζεται ως εξής:

${\displaystyle S\equiv \int _{A}^{B}L\left(a_{i},{\dot {a_{i}}},{\ddot {a_{i}}},...,t\right)dt}$, όπου L είναι η Λαγκρανζιανή συνάρτηση του συστήματος και α_i μέγεθος που περιγράφει το σύστημα, ενώ ο δείκτης i δείχνει τον αριθμό της συνιστώσας του διανύσματος.

Το μέγεθος της δράσης έχει γενικά μονάδες: (Ενέργεια)•(Χρόνος).

Αρχή του Hamilton

Όπως εξηγήθηκε και προηγουμένως η αρχή του Hamilton λέει ότι η φύση προτιμά να ακολουθεί μία ακολουθία καταστάσεων για ένα σύστημα τέτοια ώστε η δράση S να στασιμοποιείται.
Η στασιμοποίηση έγκειται στην μεταβολή της δράσης κατά τάξη ε² ή μεγαλύτερης (δηλαδή ε³, ε⁴ κ.λ.π., κάτι που μαθηματικά συμβολίζεται ως Ο[ε²]), όταν το μέγεθος ${\displaystyle {\vec {a}}}$ αλλάζει κατά τάξη ε ως:

${\displaystyle {\tilde {a_{i}}}=a_{i}+\epsilon \cdot n_{i}}$

Το n_i είναι μία συνεχής συνάρτηση που δείχνει τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται το μέγεθος a_i και το ε δείχνει το μέγεθος της μεταβολής αυτής (το πόσο μεγάλη είναι η μεταβολή) και για την οποία πρέπει να ισχύει ${\displaystyle n_{i}(A)=n_{i}(B)=0}$, απαιτείται δηλαδή από το μέγεθος ${\displaystyle {\tilde {a_{i}}}}$ να έχει ακριβώς την ίδια τιμή με το ${\displaystyle a_{i}}$ στις καταστάσεις Α και Β της αρχής και του τέλους αντιστοίχως.

Εξισώσεις Euler - Lagrange

Η εφαρμογή της αρχής του Hamilton σε ένα κλασικό μηχανικό σύστημα, μας οδηγεί στις εξισώσεις Euler - Lagrange που είναι οι εξισώσεις που πρέπει να ικανοποιούνται για να ελαχιστοποιείται η δράση και είναι ισοδύναμες με τον 2ο νόμο του Newton.
Η Λαγκρανζιανή σε αυτήν την περίπτωση είναι της μορφής: ${\displaystyle L=L\left(q(t),{\dot {q(t)}},t\right)}$, όπου τα q είναι οι θέσεις του συστήματος (βλ. το άρθρο Λαγκρανζιανή συνάρτηση για το λόγο για τον οποίο απορρίφθηκε η υπόθεση η Λαγκρανζιανή στην περίπτωσή μας να είναι συνάρτηση και ανωτέρων παραγώγων της θέσης) και η δράση είναι εξ ορισμού ίση με: ${\displaystyle S(q)=\int _{t_{A}}^{t_{B}}L\left(q(t),{\dot {q}}(t),t\right)dt}$.
Υποθέτουμε ότι η q(t) είναι η τροχιά αυτή που ελαχιστοποιεί την δράση και ${\displaystyle {\tilde {q(t)}}=q(t)+\epsilon \cdot n(t)}$ μία παρέκκλιση αυτής της τροχιάς. Η μεταβολή στη δράση θα είναι:

${\displaystyle \Delta S=S\left({\tilde {q}}\right)-S(q)=\int _{t_{A}}^{t_{B}}L\left({\tilde {q}}(t),{\dot {\tilde {q}}}(t),t\right)dt-\int _{t_{A}}^{t_{B}}L\left(q(t),{\dot {q}}(t),t\right)dt=\int _{t_{A}}^{t_{B}}\left(L\left({\tilde {q}}(t),{\dot {\tilde {q}}}(t),t\right)-L\left(q(t),{\dot {q}}(t),t\right)\right)dt}$.

Το ανάπτυγμα της ${\displaystyle L\left({\tilde {q}}(t),{\dot {\tilde {q}}}(t),t\right)}$ κατά Taylor δίνει:

${\displaystyle L\left({\tilde {q}}(t),{\dot {\tilde {q}}}(t),t\right)=L\left(q(t),{\dot {q}}(t),t\right)+\epsilon \left({\frac {\partial L}{\partial q}}n+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\dot {n}}\right)+O\left[\epsilon ^{2}\right]}$

Συνεπώς, έχουμε:

${\displaystyle \Delta S=\epsilon \int _{t_{A}}^{t_{B}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}n+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\dot {n}}\right)dt+O\left[\epsilon ^{2}\right]=\epsilon \int _{t_{A}}^{t_{B}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)ndt+O\left[\epsilon ^{2}\right]}$

Βάσει της αρχής του Hamilton πρέπει να μηδενιστεί ο όρος τάξης ε, δηλαδή πρέπει να ισχύει πάντοτε:

${\displaystyle \int _{t_{A}}^{t_{B}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)ndt=0}$

Και επειδή η n είναι μία τυχαία συνάρτηση, οδηγούμαστε στην εξίσωση:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q}}=0}$

η οποία είναι γνωστή ως εξίσωση Euler - Lagrange.

Εσωτερικοί σύνδεσμοι

• Λαγκρανζιανή συνάρτηση
• Λαγκρανζιανή μηχανική
• Χαμιλτονιανή μηχανική

Βιβλιογραφία

• Ιωάννου Πέτρος, Αποστολάτος Θ., Θεωρητική Μηχανική, Πανεπιστήμιο Αθηνών 2007 (έκδοση Β')