Απόλυτη τιμή

Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού μπορεί να θεωρηθεί η απόστασή του από το 0.

Η απόλυτη τιμή ή το απόλυτο ενός πραγματικού αριθμού είναι η τιμή του αριθμού χωρίς πρόσημο και δείχνει την απόσταση του αριθμού από το μηδέν ή το κέντρο των αξόνων (μιγαδικοί). Η έννοια της απόλυτης τιμής μπορεί να βρεθεί και σε άλλες μαθηματικές δομές όπως στους δακτύλιους ή στους μιγαδικούς αριθμούς.

Ορολογία

Η έννοια "module" ως μονάδα μέτρησης στη γαλλική γλώσσα, αποδίδεται στον Jean-Robert Argand κυρίως για τους μιγαδικούς αριθμούς^[1][2][3]. Η εισαγωγή του συμβολισμού |α| αποδίδεται στον Karl Weierstrass ο οποίος την πρωτοχρησιμοποίησε το 1841^[4]. Άλλος, γνωστός κυρίως στην πληροφορική, συμβολισμός της απόλυτης τιμής ενός αριθμού a είναι ο abs(a).

Ορισμοί και ιδιότητες

Πραγματικοί αριθμοί

Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η απόλυτη τιμή κάθε πραγματικού αριθμού α ή το απόλυτο α (το οποίο συμβολίζεται ως |α| δηλαδή ο αριθμός ανάμεσα σε δύο κατακόρυφες γραμμές) ορίζεται με τη συνάρτηση:

${\displaystyle |\alpha |={\begin{cases}\alpha &\gamma \iota \alpha \;\alpha \geqslant 0\\-\alpha &\gamma \iota \alpha \;\alpha <0.\end{cases}}}$

Καθώς η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού είναι πάντα θετική ισχύει επίσης και το:

${\displaystyle |\alpha |={\sqrt {\alpha ^{2}}}}$

${\displaystyle (1)}$

Επίσης ισχύει:

${\displaystyle |\alpha |=|-\alpha |\geq 0}$

${\displaystyle (2)}$

${\displaystyle |\alpha |^{2}=\alpha ^{2}}$

${\displaystyle (3)}$

Απόσταση δύο σημείων

Γεωμετρική αναπαράσταση απόστασης δύο σημείων.

Αν πάρουμε δύο αριθμούς τους ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ η απόσταση μεταξύ τους είναι ${\displaystyle d(x_{1},x_{2})=|x_{1}-x_{2}|}$. Το μέσο του τμήματος που ενώνει τους ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ είναι το σημείο ${\displaystyle x_{0}}$το οποίο απέχει την ίδια απόσταση από τα δύο σημεία ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$:${\displaystyle d(x_{0},x_{1})=d(x_{0},x_{2})\Rightarrow |x_{0}-x_{1}|=|x_{0}-x_{2}|}$ και τότε ${\displaystyle x_{0}-x_{1}=x_{2}-x_{0}}$ αν ${\displaystyle (x_{1}<x_{0}<x_{2})}$. Το σημείο στην μέση ορίζεται ως ${\displaystyle x_{0}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}$ και αντιστοιχεί στο κέντρο του διαστήματος ${\displaystyle [x_{1},x_{2}]}$. Ο αριθμός ${\displaystyle \rho ={\frac {x_{2}-x_{1}}{2}}}$ λέγεται ακτίνα του διαστήματος ${\displaystyle [x_{1},x_{2}]}$.

Με βάση αυτά έχω: ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ,\quad \rho >0\quad |x-x_{0}|<\rho }$ που γράφεται ως η απόσταση των δύο σημείων ${\displaystyle d(x,x0)<\rho }$ δηλαδή ${\displaystyle x_{0}-\rho <x<x_{0}+\rho }$ άρα ${\displaystyle x\in (x_{0}-\rho ,x_{0}+\rho )\Leftrightarrow x_{0}-\rho <x<x_{0}+\rho }$^[5].

Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού z είναι η απόσταση r του z από το κέντρο των συντεταγμένων.

Μιγαδικοί αριθμοί

Δεδομένου ότι το σύνολο των μιγαδικών αριθμών δεν είναι διατεταγμένο, ο ορισμός, μέσω συνάρτησης, για τους πραγματικούς αριθμούς δεν μπορεί άμεσα να γενικευθεί στους μιγαδικούς αριθμούς.

Καθώς όμως η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού είναι πάντα θετική ή μηδέν , σύμφωνα με την πιο πάνω εξίσωση (1), μπορούμε να ορίσουμε την απόλυτη τιμή ενός μιγαδικού αριθμού

${\displaystyle z=x+iy,\,}$

ως:

${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

Παραπομπές

1. Nahin
2. O'Connor i Robertson
3. functions.Wolfram.com
4. Nicholas J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, SIAM. ISBN 0898714206, s. 25
5. «Άλγεβρα (Α Γενικού Λυκείου - Γενικής Παιδείας): Ηλεκτρονικό Βιβλίο». ebooks.edu.gr. Ανακτήθηκε στις 15 Μαΐου 2017.