Αντισυμμετρικός πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, αντισυμμετρικός πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας ${\displaystyle A}$ που είναι ίσος με τον αντίθετο του ανάστροφού του ${\displaystyle -A^{T}}$, ${\displaystyle A=-A^{T}}$. Δηλαδή, ένας πίνακας διαστάσεων ${\displaystyle n\times n}$ είναι αντισυμμετρικός αν και μόνο αν ${\displaystyle A_{ij}=-A_{ji}}$ για κάθε ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$.^{[1]:36[2]:8[3]:16[4]:35[5]:191} Λόγω αυτής της συνθήκης τα στοιχεία της κύριας διαγώνιας του πίνακα είναι όλα μηδέν.

Η γενική μορφή ενός αντισυμμετρικού πίνακα διαστάσεων ${\displaystyle n\times n}$ για ${\displaystyle n=2,3,4}$, είναι:

${\displaystyle \underbrace {\begin{bmatrix}0&\color {red}{A_{12}}\\\color {red}{-A_{12}}&0\end{bmatrix}} _{2\times 2}\qquad \underbrace {\begin{bmatrix}0&\color {red}{A_{12}}&\color {blue}{A_{13}}\\\color {red}{-A_{12}}&0&\color {green}{A_{23}}\\\color {blue}{-A_{13}}&\color {green}{-A_{23}}&0\end{bmatrix}} _{3\times 3}\qquad \underbrace {\begin{bmatrix}0&\color {red}{A_{12}}&\color {blue}{A_{13}}&\color {orange}{A_{14}}\\\color {red}{-A_{12}}&0&\color {green}{A_{23}}&\color {purple}{A_{24}}\\\color {blue}{-A_{13}}&\color {green}{-A_{23}}&0&\color {magenta}{A_{34}}\\\color {orange}{-A_{14}}&\color {purple}{-A_{24}}&\color {magenta}{-A_{34}}&0\end{bmatrix}} _{4\times 4},}$

όπου με ίδιο χρώμα (εκτός του μαύρου) είναι τα στοιχεία που πρέπει να είναι αντίθετα μεταξύ τους σε έναν αντισυμμετρικό πίνακα. Τα στοιχεία αυτά είναι συμμετρικά ως προς την κύρια διαγώνιο, εξού και το όνομα αντισυμμετρικός πίνακας.

Παραδείγματα

• Παρακάτω δίνονται μερικοί συγκεκριμένοι αντισυμμετρικοί πίνακες

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&\color {red}{7}\\\color {red}{-7}&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&\color {red}{4.8}&\color {blue}{-6}\\\color {red}{-4.8}&0&\color {green}{-3.4}\\\color {blue}{6}&\color {green}{3.4}&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&\color {red}{2.1}&\color {blue}{0}&\color {orange}{4.7}\\\color {red}{-2.1}&0&\color {green}{-0.7}&\color {purple}{2.2}\\\color {blue}{0}&\color {green}{0.7}&0&\color {magenta}{3.5}\\\color {orange}{-4.7}&\color {purple}{-2.2}&\color {magenta}{-3.5}&0\end{bmatrix}}.}$

• Ο μηδενικός πίνακας ${\displaystyle \mathbf {0} _{n\times n}}$ είναι αντισυμμετρικός, καθώς ${\displaystyle -\mathbf {0} _{n\times n}^{T}=\mathbf {0} _{n\times n}}$.

Ιδιότητες

• Εξ'ορισμού, ο ανάστροφος πίνακας ${\displaystyle A^{T}}$ ενός αντισυμμετρικού πίνακα ${\displaystyle A}$ είναι αντισυμμετρικός, καθώς είναι ίσος με τον ${\displaystyle -A}$.
• Το άθροισμα δύο αντισυμμετρικών πινάκων ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ είναι αντισυμμετρικός πίνακας, καθώς ${\displaystyle (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}=(-A)+(-B)=-(A+B)}$.
• Το βαθμωτός πολλαπλασιασμός ενός αντισυμμετρικού πίνακα ${\displaystyle A}$ και ενός στοιχείου ${\displaystyle c}$ είναι αντισυμμετρικός πίνακας, καθώς ${\displaystyle (cA)^{T}=cA^{T}=c(-A)=-cA}$.
• Τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου ενός αντισυμμετρικού πίνακα είναι ${\displaystyle 0}$, καθώς ${\displaystyle A_{ii}=-A_{ii}\Rightarrow A_{ii}=0}$ για κάθε ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$. Συνεπώς, το ίχνος του ${\displaystyle A}$ είναι ${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\textstyle \sum _{i=1}^{n}A_{ii}=0}$.
• Η ορίζουσα ενός αντισυμμετρικού πίνακα ${\displaystyle A}$ με διαστάσεις ${\displaystyle n\times n}$ με ${\displaystyle n}$ μονό αριθμό, είναι ${\displaystyle \operatorname {det} (A)=0}$.^{[1]: 57 [6]:81} Αυτό σημαίνει ότι ο πίνακας είναι μη-αντιστρέψιμος πίνακας.
• Για κάθε πίνακα ${\displaystyle A}$, ο πίνακας ${\displaystyle A-A^{T}}$ είναι αντισυμμετρικός, καθώς ${\displaystyle (A-A^{T})^{T}=A^{T}-(A^{T})^{T}=A^{T}-A=-(A-A^{T})}$.^{[1]: 197 [5]: 195} Προκύπτει ότι κάθε πίνακας ${\displaystyle A}$ μπορεί να γραφτεί ως ${\displaystyle A=B+C}$ για συμμετρικό πίνακα ${\displaystyle B={\tfrac {1}{2}}\cdot (A+A^{T})}$ και αντισυμμετρικό πίνακα ${\displaystyle C={\tfrac {1}{2}}\cdot (A-A^{T})}$.^[5]: 196
• Για κάθε διάνυσμα ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ και για αντισυμμετρικό πίνακα ${\displaystyle A}$ διαστάσεων ${\displaystyle n\times n}$, η τετραγωνική μορφή ${\displaystyle \mathbf {x} ^{T}A\mathbf {x} =0}$.^[6]: 210

Δείτε επίσης

• Συμμετρικός πίνακας
• Αυτοπροσαρτηµένος πίνακας

Παραπομπές

1. Χαραλάμπους, Χ.· Φωτιάδης, Α. (2015). Μία εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα για τις θετικές επιστήμες. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-273-8. 
2. Βουκούτης, Ν. Εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα: Πίνακες, Ορίζουσες, Γραμμικά συστήματα για τις πανελλήνιες εξετάσεις β' λυκείου. Αθήνα: Δημόκριτος. 
3. Βασιλειάδης, Π. (1983). Στοιχειώδης γραμμική άλγεβρα: Θεωρία, μεθοδολογία, παραδείγματα, ασκήσεις. Θεσσαλονίκη. 
4. Κυριακόπουλος, Α. Κ.· Κυβερνητου-Κυριακοπουλου, Χ. Μαθηματικά Γ' Λυκείου - 1ης και 4ης Δέσμης: Πίνακες, γραμμικά συστήματα, ορίζουσες. Αθήνα: Εκδόσεις Παπαδημητροπούλου. 
5. Μπράτσος, Α. (2015). Μαθήματα ανωτέρων μαθηματικών. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-030-7. 
6. Körner, T. W. (2012). Vectors, pure and applied : a general introduction to linear algebra. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781139520034.